Частные производные функции нескольких переменных
26. Дифференцируемость функции
нескольких переменных. дифференциал
Дифференцируемые функции нескольких переменных.
Пусть функция двух переменных определена в некоторой открытой области плоскости , – точка области . Придавая переменным приращения и , перейдем из точки в какую-нибудь точку той же области. При этом функция получит приращение
.
В отличие от частных приращений и это приращение называется полным приращениемфункции в точке , соответствующим приращениям и независимых переменных.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется дифференцируемой в точке если ее полное приращение в этой точке может быть записано в виде
, (4.1)
где – некоторые числа, – бесконечно малые при , (или, короче при ).
Замечание. Функции и зависят от .
Функция , дифференцируемая в каждой точке некоторой области, называется дифференцируемой в этой области.
Соотношение (4.1) можно записать и в более сжатой форме:
(4.2)
где , – бесконечно малая при .
Слагаемое , линейное относительно и , является главной частью приращения, так как оставшееся слагаемое (или , если используется формула (4.2)) есть бесконечно малая более высокого порядка чем и .
ПРИМЕР. Функция будет дифференцируемой в любой точке , так как
Здесь – главная часть полного приращения функции, а слагаемое есть бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с и .
Данное выше определение дифференцируемости функции двух переменных является естественным обобщением определения дифференцируемости функции одной переменной. Следовательно, можно поставить вопрос о том, какие из свойств дифференцируемых функций одной переменной сохранятся для функции двух переменных. Так, было установлено, что если функция одной переменной дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна и имеет производную в этой точке. Последнее условие оказалось и достаточным, т.е. из существования производной функции одной переменной в данной точке следует дифференцируемость функции в этой точке. На функции двух переменных эти свойства переносится в следующем виде.
ТЕОРЕМА 4.1. (необходимые условия дифференцируемости). Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке и имеет в ней частные производные по обеим независимым переменным. Причем , а .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО…
1) Пусть дифференцируема в точке . Значит ее приращение в этой точке может быть записано в виде
, (*)
где – некоторые числа, – бесконечно малые при , . Тогда
.
С другой стороны,
.
Следовательно, ,
⇒ ,
т.е. непрерывна в точке .
2) Пусть . Тогда формула (*) примет вид
,
где – некоторое число, – бесконечно малая при , . Отсюда получаем:
и .
Аналогично доказывается, что существует . ∎
С учетом теоремы 4.1 равенства (4.1) и (4.2) можно теперь записать в виде (4.3)
(4.4)
где – бесконечно малые при , , , – бесконечно малая при .
Утверждение обратное теореме 4.1 неверно. Из непрерывности функции двух переменных в точке и существования в этой точке ее частных производных еще не следует дифференцируемость функции.
ПРИМЕР. Функция непрерывна в точке и имеет в этой точке частные производные:
,
.
Однако эта функция не является дифференцируемой в точке . Действительно, в этой точке ее полное приращение равно
.
Если бы функция была дифференцируемой в точке , то слагаемое можно было бы представить в виде , где , а – бесконечно малая при . Но выделяя в множитель , мы получаем второй множитель . А эта функция не является бесконечно малой при (при любых имеем и, значит, в любой сколь угодно малой окрестности точки всегда найдутся точки для которых неравенство не выполняется для ).
Для того, чтобы функция двух переменных была дифференцируема в данной точке, на нее, в отличие от функции одной переменной надо наложить боле жесткие требования, чем существование частных производных в этой точке. А именно, справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА 4.2. (достаточные условия дифференцируемости). Если функция имеет в некоторой окрестности точки частные производные и , причем в самой точке эти производные непрерывны, то функция дифференцируема в этой точке.
ПРИМЕР. 1) Функция в любой точке дифференцируема, так как ее частные производные и всюду непрерывны.
2) Функция дифференцируема в каждой точке полуплоскости , так как там существуют и непрерывны ее частные производные .
И в заключение этого пункта заметим, что все определения и теоремы, которые мы здесь формулировали, легко переносятся на случай функций большего числа переменных.
Дифференциал.
Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда, как было показано выше, ее полное приращение в этой точке может быть записано в виде
,
где – бесконечно малые при , .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть функция дифференцируема в точке . Главная, линейная относительно и часть ее полного приращения в этой точке, т.е.
,
называется полным дифференциалом функции в этой точке и обозначается или .
Из этого определения следует, что разность между полным приращением и полным дифференциалом функции в данной точке есть бесконечно малая более высокого порядка чем и :
где – бесконечно малые при , . Это обстоятельство можно использовать в приближенных вычислениях.
Пусть, например, нам известны значения дифференцируемой функции и ее частных производных и в точке . Требуется вычислить значение этой функции в точке . Для этого рассмотрим разность значений функции в точке и . По определению
.
Заменяя полным дифференциалом , получаем:
,
откуда
. (4.5)
Допущенная при этом погрешность будет тем меньше, чем меньше и .
ПРИМЕР. Вычислить приближенно .
Рассмотрим функцию . Искомое число представляет собой значение этой функции в точке .
Пусть , . Так как частные производные рассматриваемой функции , в точке непрерывны, то функция дифференцируема в точке и для вычисления ее значения в точке мы можем воспользоваться формулой (4.5).
Имеем: ,
,
.
Из ,
находим, что , .
Подставляя все в (4.5) окончательно получаем:
Данное выше определение полного дифференциала функции двух переменных легко обобщается на случай дифференцируемой функции любого числа переменных: полным дифференциалом функции переменных в данной точке называется главная, линейная относительно приращений всех аргументов часть полного приращения функции в этой точке.
Полному дифференциалу функции двух переменных, как в свое время дифференциалу функции одной переменной, можно придать геометрический смысл. Но для этого нам придется ввести понятие касательной плоскости к поверхности. Сделать это можно несколькими, эквивалентными между собой, способами. Предлагаемое ниже определение является естественным обобщением определения касательной (прямой) к линии.
Пусть – точка на поверхности . Возьмем на поверхности другую точку и проведем секущую прямую .
Плоскость, проходящая через точку , называется касательной плоскостью к поверхности в точке , если угол между секущей и этой плоскостью стремится к нулю когда точка стремится к , двигаясь по поверхности произвольным образом. |
Из этого определения следует, что если у поверхности в данной точке есть касательная плоскость, то она единственная. Могут на поверхности быть и такие точки, в которых касательной плоскости к поверхности нет. Например, поверхность, заданная уравнением (коническая поверхность) в точке касательной плоскости не имеет.
Прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной плоскости к поверхности в этой точке, называется нормалью к поверхности в точке .
Позже мы покажем, что у поверхности, заданной уравнением , где – функция, дифференцируемая в точке , касательная плоскость в точке существует и имеет уравнение (4.6)
а нормаль в этой точке будет тогда иметь уравнение
(4.7)
Если поверхность задана уравнением , где – дифференцируемая в точке функция, причем хотя бы одна из ее частных производных не обращается в этой точке в ноль, то касательная плоскость к поверхности в точке существует и имеет уравнение
.
Уравнения нормали к поверхности в этой точки тогда будут иметь вид
.
Замечание. Точка поверхности , в которой все частные производные функции обращаются в ноль, называется особой точкой поверхности. В особой точке поверхность может не иметь касательной плоскости.
Выясним теперь геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных. Пусть функция дифференцируема в точке . Это значит, что поверхность, заданная уравнением , имеет в точке касательную плоскость, уравнение которой имеет вид (4.6). Полагая , , уравнение касательной плоскости можно переписать в виде
.
В этом равенстве слева стоит разность аппликат точек касательной плоскости, соответствующих точкам и , а справа – полный дифференциал функции в точке .
Таким образом, полный дифференциал функции в точке равен приращению, которое получает аппликата точки касательной плоскости, проведенной к графику функции в точке , когда ее координаты и получают приращения и соответственно.
Полный дифференциал функции в точке зависит от 1) координат точки, 2) от величины приращений и . Если рассматривать его во всех точках дифференцируемости функции и для всех возможный и , то получим функцию четырех переменных (в общем случае переменных), которую называют полным дифференциалом функции и обозначают или .
Легко доказать, что полный дифференциал функции нескольких переменных обладает теми же свойствами, что и дифференциал функции одной переменной. В том числе для него существует и вторая, инвариантная форма записи. Получим ее в заключение этого пункта.
Напомним, что если – дифференцируемая функция двух независимых переменных, то по определению
(4.8)
Полагая, в частности, (т.е. ), получаем
.
Аналогично, полагая , получаем, что .
Поэтому мы можем записать дифференциал функции в виде . (4.9)
Позже мы убедимся, что формула (4.9) остается верна и в том случае, когда – сложная функция.
27. Дифференцирование сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала
ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫПЕРВОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА
По определению дифференциал (первый дифференциал) функции вычисляется по формуле если – независимая переменная.
ПРИМЕР.
Покажем, что форма первого дифференциала остается неизменной (является инвариантной) и в том случае, когда аргумент функции сам является функцией, то есть для сложной функции .
Пусть дифференцируемы, тогда по определению
Кроме того, что и требовалось доказать.
ПРИМЕРЫ.
Доказанная инвариантность формы первого дифференциала позволяет считать, что то есть производная равна отношению дифференциала функции к дифференциалу ее аргумента, независимо от того, является ли аргумент независимой переменной или функцией.