Устойчивость систем автоматического регулирования




Основная задача регулирования состоит в установлении и поддержании заданного режима работы объекта во времени. При этом качество процесса регулирования определяется рядом показателей, отраженных в государственных стандартах и требованиях нормативной документации, например, длительность переходного процесса, заброс регулируемого параметра, степень нечувствительности, степень неравномерности и т.п.

Если какое-либо возмущение нарушило равновесие в системе и далее исчезло, то при устойчивом регулировании после достаточно малого возмущения регулятор восстановит режим, который поддерживался до действия возмущения.

Для линейной САР устойчивость процесса регулирования по отношению к малым возмущениям означает его устойчивость также и по отношению к любому другому возмущению, не обязательно малому. Но сама линейная модель САР позволяет судить о поведении реальной системы лишь по отношению к малым возмущениям.

Рассмотрим дифференциальное уравнение движения САР (регулируемый параметр ) в операторной форме записи при возмущающем воздействии от изменения нагрузки λ

.

Данное уравнение является неоднородным дифференциальным уравнением. Его решение относительно находится как сумма двух решений: частного решения с правой частью и общего решения уравнения без правой части. Таким образом, решение уравнения имеет вид:

Первое слагаемое определяет вынужденную составляющую φв(t), второе слагаемое – переходную составляющую φn(t), . Формула может быть представлена следующим образом:

.

Характерный переходный процесс показан на рис. 5.28.

Рисунок 5.28. Характерный переходный процесс САР

 

САР является устойчивой, если при переходная составляющая стремится к нулю (). Найдем эту составляющую из уравнения.. Для этого решим уравнение без правой части

.

Определим корни характеристического уравнения

.

Так как данное уравнение содержит n корней, то переходную составляющую можем записать в виде

,

где - корни характеристического уравнения;

- постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

Корни характеристического уравнения определяются только левой частью уравнения, постоянные интегрирования - также и правой частью уравнения. Поэтому быстрота затухания и форма переходного процесса определяются как правой, так и левой частями исходного дифференциального уравнения.

Нахождение корней характеристического уравнения связано с трудностями. Однако находить их и не требуется, так как для суждения об устойчивости системы нужно лишь знать, что все они расположены левее мнимой оси на плоскости комплексного переменного р. Эти условия называются к р и т е р и я м и у с т о й ч и в о с т и.

Существующие критерии устойчивости делятся на две группы: алгебраические и частотные.

 

Алгебраические критерии устойчивости.

К р и т е р и й у с т о й ч и в о с т и Р а у з а - Г у р в и ц а.Задачу отыскания критерия устойчивости для систем, описываемых дифференциальными уравнениями любого порядка, сформулировал Максвелл в 1868г. Эта задача была впервые решена в алгебраической форме Раузом в 1873г. для уравнений четвертой и пятой степени. В 1877г. задача была решена полностью в виде алгоритма, определяющего последовательность математических операций, необходимых для решения.

Большее распространение получил алгебраический критерий устойчивости, сформулированный в 1895г. математиком Гурвицем.

Независимый подход Рауза и Гурвица к оценке устойчивости системы дал повод в мировой практике считать предложенный критерий – критерием Рауза-Гурвица.

Решение сводится к составлению матрицы коэффициентов уравнения (40), содержащую n строк и n столбцов.

Сначала заполняется главная диагональ матрицы коэффициентами от а1 до аn. Вверх (по вертикали) записываются последовательно коэффициенты с увеличивающимся индексом, вниз записываются коэффициенты с убывающими значениями индексов. Несуществующие коэффициенты (n <индекс<0) заменяются нулями.

 

Оценка устойчивости сводится к тому, что при должны быть больше нуля все n определителей, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов, определители (миноры) составляются по следующему правилу:

 

; ; ; ……

 

Последний определитель включает в себя всю матрицу. Так как в последнем столбце матрицы все элементы, кроме нижнего, равны нулю, то последний определитель выражается через предпоследний следующим образом:

 

.

 

Однако в устойчивой системе предпоследний определитель должен быть положительным. Поэтому условие положительности последнего определителя сводится к условию , т.е. к положительности свободного члена характеристического уравнения.

 

П р и м е р: САР имеет характеристическое уравнение

 

.

 

Оценить устойчивость САР по критерию Рауза - Гурвица.

 

Р е ш е н и е.

1. Составим квадратную матрицу, для чего сначала заполним главную диагональ коэффициентами, начиная с , а затем всю матрицу согласно правилу Рауза – Гурвица.

 

2. Определим значения миноров

; ;

 

.

 

3. При положительном значении все миноры определителя больше нуля. Следовательно, система устойчива.

 

Частотные критерии устойчивости.

К р и т е р и й у с т о й ч и в о с т и М и х а й л о в а. Левая часть уравнения представляет собой характеристический полином или собственный оператор САР D(р)

.

 

Если подставить в полином значение , где - круговая частота колебаний, соответствующих мнимому корню уравнения, то получим характеристический комплекс

 

,

 

где - вещественная часть, содержит четные степени

, ;

 

- мнимая часть, содержит нечетные степени ,

.

 

Функции и представляют собой модуль и фазу (аргумент) характеристического комплекса.

Уравнение не будет иметь корней в правой полуплоскости, если полное приращение аргумента при изменении равно , где - степень полинома . САР будет при этом устойчивой. Если полное приращение окажется меньше , то система неустойчива.

Чтобы установить связь между видом кривой Михайлова и знаками вещественных корней характеристического уравнения, определим, чему должен равняться угол поворота вектора при . Для этого запишем характеристический полином в виде произведения сомножителей

 

,

 

где - корни характеристического уравнения.

Характеристический вектор можно представить в виде

 

.

 

Каждое выражение в скобках представляет собой комплексное число. Следовательно, - произведение из комплексных чисел. При перемножении аргументы комплексных чисел складываются. Поэтому результирующий угол поворота вектора при изменении будет равен сумме углов поворота отдельных сомножителей

 

.

 

Если , где , то данный сомножитель будет . При изменении вещественная часть остается равной , а мнимая изменится от

до (рис. 5.29, а), т.е. на угол .

Если корень , где , то сомножитель при изменении от до изменится таким образом, что вектор повернется на угол от до , т.е. на угол (рис. 5.29, б).

 

 

Рисунок 5.29. Анализ сомножителей характеристического вектора

Если корни равны , то сомножители при аналогичном изменении повернутся на углы и (см. рис. 5.29, в). Тогда вектор, соответствующий данному произведению повернется на угол .

Аналогично, если , то .

Таким образом, если характеристическое уравнение из корней будет иметь корней с положительной вещественной частью, то каковы бы ни были эти корни (вещественные или комплексные), им будет соответствовать сумма углов поворота, равная , всем же остальным корням характеристического уравнения, имеющим отрицательные вещественные части, будет соответствовать сумма углов поворота, равная . Общий угол поворота вектора при изменении от до

.

 

В общем случае i-й сомножитель выражения в векторной форме можно представить в комплексной плоскости (рис. 5.30) при подстановке .

Рисунок 5.30. Представление i-го сомножителя характеристического вектора

 

Каждый сомножитель ,

где - модуль вектора ;

- фазовый угол вектора (его аргумент).

Тогда уравнение можно представить как

 

или ,

где R - модуль Михайлова, .

Если изменять частоту от до , то угол каждого из векторов изменится от до .

 

К р и т е р и й М и х а й л о в а читается так:

для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора в комплексной плоскости, полученный в результате подстановки в характеристическое уравнение, при изменении , нигде не обращаясь в н у л ь, развернулся п о с л е д о в а т е л ь н о против часовой стрелки на угол (где - степень уравнения).

 

Пример: CАР описана дифференциальным уравнением

движения

.

 

Оценить устойчивость САР по критерию Михайлова.

 

Решение:

Запишем уравнение в операторной форме:

.

Приравняв собственный оператор нулю , по-

лучим характеристическое уравнение

.

Делаем подстановку

и выделяем вещественную и мнимую части ( и ):

Вещественная часть ;

Мнимая часть .

Для отыскания точек годографа составим табл. 5.1.

 

 

Таблица 5.1

 

             
0.5 0.48   -1.5 -7.5 -49 -199
  0.4 1.9     -105 -960

 

Строим годограф вектора на комплексной плоскости (рис.5.31). При , т.е. годограф вектора последовательно и не обращаясь в нуль повернется против часовой стрелки на угол, не превышающий значения . Таким образом, САР устойчива.

 

 

 

Рисунок 5.31. Годограф Михайлова

 

К р и т е р и й у с т о й ч и в о с т и Н а й к в и с т а основан на построении амплитудно-фазово-частотной характеристики р а з о м к н у т о й системы при изменении частоты от до .

Устойчивость системы определяется в следующем порядке:

· Строится структурная схема САР;

· Разрывают замкнутую систему, нарушая одну из связей контура (рис. 5.32,а);

 

Рисунок 5.32. Структурная схема САР и ее АФЧХ

 

· Определяют передаточную функцию разомкнутой системы

 

;

· Строят АФЧХ разомкнутой системы

 

,

где - соответственно амплитудно-частотные характеристики объекта и регулятора;

- соответственно фазово-частотные характеристики объекта и регулятора.

Введя замену для разомкнутой системы, получим АФЧХ

 

;

 

Для устойчивости САР необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ соответствующей разомкнутой системы не охватывала на комплексной плоскости точку с координатами (-1, 10). Произвольная АФЧХ устойчивой системы показана на рис. 5.32, б.

П р и м е р: Оценить устойчивость САРч с регулятором прямого действия с помощью критерия Найквиста, если степень неравномерности регулятора , время двигателя , время регулятора , время катаракта , степень неравномерности статической характеристики двигателя .

Решение:

Определим передаточную функцию разомкнутой системы

 

.

 

Определим АФЧХ значение и получим выражение для АФЧХ разомкнутой системы, где ;

 

.

 

Определим АЧХ при изменении , результаты сведем в табл. 5.2.

Определим ФЧХ, где

 

 

Результаты расчета при сведем в табл. 5.2.

 

Таблица 5.2

 

               
  9,28 7,81 6,4 5,3 4,47 2,42 1,64  
  -21,7 -38,5 -49 -57,7 -61,3 -75,6 -80,2  

 

 

 

 

Рисунок 5.33. Амплитудно-фазовая частотная характеристика

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-02-10 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: