Ход уроков
- Организационный момент.
- Повторение видов функций.
- Подготовка к восприятию новых знаний.
- Изучение нового материала.
- Закрепление.
- Знаменитые последовательности.
- Дополнительные задачи.
- Домашнее задание.
- Подведение итогов урока.
Урок 1.
1. Организационный момент.
Последовательность - одно из самых основных понятий математики. Последовательность может быть составлена из чисел, точек, функций, векторов и т.д.
Сегодня на уроке мы познакомимся с понятием " числовая последовательность", узнаем, какие могут быть последовательности, познакомимся со знаменитыми последовательностями.
2. Повторение видов функций.
Вам известны функции, определённые на всей числовой прямой или на её непрерывных промежутках:
- линейная функция у = кх+в,
- квадратичная функция у = ах2+вх+с,
- функция у = ,
- прямая пропорциональность у = кх,
- обратная пропорциональность у = ,
- кубическая функция у = х3,
- функция у =|х|.
(Графики функций показываются на слайдах презентации).
Для каждой функции указать область определения и способы задания функции.
Подготовка к восприятию новых знаний.
Но бывают функции, заданные на других множествах.
Пример. Во многих семьях есть обычай, своего рода ритуал: в день рождения ребёнка родители подводят его к дверному косяку и торжественно отмечают на нём рост именинника. Ребёнок растёт, и на косяке с годами возникает целая лесенка отметок. Три, пять, два: Такова последовательность приростов от года к году. Но есть и другая последовательность, и именно её члены аккуратно выписывают рядом с засечками. Это - последовательность значений роста. Слайд презентации.
Две последовательности связаны друг с другом.
Вторая получается из первой сложением.
Рост - это сумма приростов за все предыдущие годы.
Рассмотрим ещё несколько задач.
Задача 1. На складе имеется 500 т угля, каждый день подвозят по 30 т. Сколько угля будет на складе в 1 день? 2 день? 3 день? 4 день? 5 день?
(Ответы учащихся записываются на доске: 500, 530, 560, 590, 620).
Задача 2. В период интенсивного роста человек растёт в среднем на 5 см в год. Сейчас рост у ученика С. - 180 см. Какого роста он будет в 2018 году? (2м 30 см). Но этого быть не может. Почему?
Задача 3. Ежедневно каждый болеющий гриппом человек может заразить 4 окружающих. Через сколько дней заболеют все ученики нашей школы (300 человек)? (Через 4 дня).
Это примеры функций, заданных на множестве натуральных чисел-числовые последовательности.
Ставится цель урока: Найти способы нахождения любого члена последовательности.
Задачи урока: Выяснить, что такое числовая последовательность и как задаются последовательности.
Изучение нового материала.
Определение: Числовая последовательность- это функция, заданная на множестве натуральных чисел (слайд: последовательности составляют такие элементы природы, которые можно пронумеровать).
Понятие числовой последовательности возникло и развилось задолго до создания учения о функции. Вот примеры бесконечных числовых последовательностей, известных еще в древности:
1, 2, 3, 4, 5,: - последовательность натуральных чисел;
2, 4, 6, 8, 10,:- последовательность четных чисел;
1, 3, 5, 7, 9,: - последовательность нечетных чисел;
1, 4, 9, 16, 25,: - последовательность квадратов натуральных чисел;
2, 3, 5, 7, 11,: - последовательность простых чисел;
1, , , ,:- последовательность чисел, обратных натуральным.
Число членов каждого из этих рядов бесконечно; первые пять последовательностей - монотонно возрастающие, последняя - монотонно убывающая.
Обозначение: у1, у2, у3, у4, у5,:
1, 2, 3, 4, 5,:п,:-порядковый номер члена последовательности.
(уп)- последовательность, уп- п-ый член последовательности.
(ап)- последовательность, ап - п-ый член последовательности.
ап-1 -предыдущий член последовательности,
ап+1 - последующий член последовательности.
№ 332.
Последовательности бывают конечными и бесконечными, возрастающие и убывающие.
Задание. Записать первые 5 членов последовательности:
От первого натурального числа увеличение на 3.
От 10 увеличение в 2 раза и уменьшение на 1.
От числа 6 чередовать увеличение на 2 и увеличение в 2 раза.
Эти числовые ряды тоже называются числовыми последовательностями.
5. Знаменитые последовательности:
Числа Фибоначчи.
Треугольник Паскаля.
Числовая последовательность считается заданной, если указан способ, позволяющий найти член последовательности любого номера.
1. Способы задания последовательностей:
Словесный.
(уп)- последовательность натуральных чисел, кратных трём.
(уп): 3, 6, 9, 12, 15,:
Табличный.
п | |||||
уп |
Графический.
Аналитический.
Указать формулу п-ого члена последовательности.
(уп = 3п)
Рекуррентный ( от латинского - возвращаться).
Это формула, выражающая любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие.
(уп = уп-1 + 3).
Закрепление.
сп = . Запишите первые 5 членов последовательности.
(По одному человеку решают у доски, остальные - в тетради).
: 74, 81, 88, 95, 102,: Задайте формулу п-ого члена.
(уп = уп-1 + 7).
Дополнительные задачи.
Запишите первые пять членов последовательности, заданной таким описанием: каждый член последовательности на 1 больше соответствующего члена ряда Фибоначчи.
Запишите первые пять членов последовательности, заданной формулой ап = (-3)п-1.
Запишите первые пять членов последовательности, заданной рекуррентно:
а1 = 4, ап+1 = ап + 2.
Запишите первые пять членов последовательности, заданной графиком:
Домашнее задание.