Глава 2. Многочлены и рациональные дроби
Многочлены.
Понятие многочлена. Операции над многочленами.
1.1.1. Определение. Пусть F — некоторое числовое множество (например, это может быть множество действительных чисел R или множество комплексных чисел C). Тогда выражение f (x) вида
a 0 xn + a 1 xn - 1+...+ an -1 x + an, (1.1.1)
где a 0, a 1,..., an -1, a n — элементы множества F, x — некоторая переменная величина из, вообще говоря, произвольного (необязательно F) числового множества, называется многочленом над F. При этом, если a 0¹0, то n называется степенью многочленаf (x) и обозначается через ст. f (x).
Многочлены будем обозначать также через g (x), h (x) и т.д., иногда снабжая их индексами: f 1(x), f 2(x) и т.д.
Иногда многочлен будем записывать в виде
anxn + an -1 xn - 1+...+ a 1 x + a 0. (1.1.1¢)
Наконец, для того, чтобы подчеркнуть степень многочлена, его обозначают через Pn (x), Qm (x) и т.д. Здесь n и m - степени соответственно Pn (x) и Qm (x).
Многочлен может быть записан не только в виде (1.1.1) и (1.1.1¢), то есть в порядке понижения степеней, но и в произвольном порядке их следования. Если многочлен имеет вид (1.1.1) (соответственно, (1.1.1¢)), то говорят, что он записан в стандартном виде.
Любое ненулевое число из F можно рассматривать как многочлен нулевой степени, а число нуль — как многочлен неопределенной степени.
Если какой-либо коэффициент ai у многочлена отрицателен, то принято вместо знака «+» в обозначении многочлена ставить соответствующий знак «-». Например, пишут не 3 x 3+(-4) x 2+ x +(-2), а 3 x 3-4 x 2+ x -2. Если какой-либо коэффициент ai =0, то соответствующий член многочлена опускают. Так, пишут не 3 x 5+0 x 4+0 x 3-4 x 2+0 x -2, а 3 x 5-4 x 2-2.
1.1.2. Упражнение. Указать коэффициенты и степени многочленов:
а) f (x)=3 x 5-4 x 2+ x -2;
б) f (x)=- x 3- x +2;
в) f (x)=3 x 5+2 x 2-1;
г) f (x)= x 7;
д) f (x)=-3;
е) f (x)=(a 2-9) x 2+(a -3) x +(a -3);
ж) f (x)=(a 2-4) x 3+(a -2) x 2+3;
з) f (x)=(a 2-3 a +2) x 3+(a -1) x 2+(a -2) x +5;
и) f (x)=(a 3- a) x 2+ a (a +1) x + a.
Решение. а) В обозначениях (1.1.1) имеем a 0=3, a 1=0, a 2=0, a 3=-4, a 4=1, a 5=-2. Степень многочлена f (x) равна 5.
е) Если a ¹±3, то a 0= a 2-9, a 1= a -3 и a 2= a +3, а степень g (x) равна 2. Если a =-3, то a 0=0, a 1=-6, a 2=-6, степень g (x) равна 1. Если же а =3, то g (x) — нулевой многочлен и степень его не определена.
Ответ: а) a 0=3, a 1=0, a 2=0, a 3=-4, a 4=1, a 5=-2. Степень многочлена f (x) равна 5.
1.1.3. Упражнение. Записать многочлен f (x), если заданы его коэффициенты:
а) 1; -2; 3; -4; 5;
б) 2; 0; 3; -1; 0; 1; -2;
в) -5; 0; 0; 0; 0;
г) 2; -1; 3; 1; 6;
д) 1; 0; 0; 0; 0; 4;
е) 3; 0; 0; 0; 0; 0;
ж) 2; 0; -1; 0; 4; 0.
Решение. а) f (x)= x 4-2 x 3+3 x 2-4 x +5;
б) f (x)=2 x 6+3 x 4- x 3+ x -2;
в) f (x)=-5 x 4.
1.1.4. Определение. Два многочлена
f (x)= anxn + an -1 xn - 1+...+ a 1 x + a 0, (1.1.2)
g (x)= bmxm + bm -1 xm - 1+...+ b 1 x + b 0 (1.1.3)
называются равными, если m = n и ai = bi для любого индекса i. В частности, степени равных многочленов равны.
1.1.5. Упражнение. Определить, равны ли многочлены:
а) f (x)= x 4-2 x 3+3 x 2-4 x +5 и g (x)= x 4- x 3+3 x 2-4 x +5;
б) f (x)= x 4-2 x 3+3 x 2-4 x +5 и g (x)= x 4+3 x 2-4 x -2 x 3+5.
Решение. а) Данные многочлены не равны, так как коэффициенты при x 3 у них различны.
б) Данные многочлены равны, так как равны все коэффициенты при одинаковых степенях переменной.
1.1.6. Упражнение. Какие из следующих многочленов равны между собой:
f (x)=0,5 x 3+2 x 2-5 х + 7;
g (x)=lg x 3+ x 2+ х + 7;
h (x)=sin30o× x 3+lg100× x 2- х + ;
s (x)=cos120o× x 3+ × x 2+ х + ;
p (x)=cos90o× x +5;
q (x)=5.
1.1.7. Упражнение. При каких значениях a, b, c многочлены f (x)= ax 4+ bx 3+3 x 2+5 и g (x)= x 3+(c -1) x 2 + 5 равны между собой?
1.1.8. Определение. Пусть n > m. Суммой многочленов (1.1.2) и (1.1.3) называется многочлен h (x), обозначаемый как f (x)+ g (x) и такой, что
h (x)= cnxn + cn -1 xn - 1+...+ c 1 x + c 0,
где cn = an + bn, cn -1= an -1+ bn -1,..., c 1= a 1+ b 1, c 0= a 0+ b 0. При этом если n > m, то считаем bm +1, bm +2,... bn равными нулю.
1.1.9. Определение. Произведением многочленов (1.1.2) и (1.1.3) называется многочлен h (x), обозначаемый как f (x) g (x) и такой, что
h (x)= dn + m xn + m + dn + m -1 xn + m - 1+...+ d 1 x + d 0,
где di = , i =0, 1,..., n + m -1, n + m (например, d 0= a 0 b 0, d 1= a 0 b 1+ a 1 b 0, d 2= a 0 b 2+ a 1 b 1+ a 2 b 0 и т.д.)
1.1.10. Теорема. Пусть f (x), g (x) и h (x) — многочлены. Справедливы следующие свойства операций сложения и умножения многочленов:
1. ст. (f (x)+ g (x)) не выше максимального из ст. f (x) и ст. g (x).
2. ст. (f (x) g (x))= ст. f (x)+ ст. g (x).
3. f (x)+ g (x)= g (x)+ f (x).
4. f (x)+(g (x)+ h (x))=(f (x)+ g (x))+ h (x).
5. Существует такой многочлен 0 (x), что f (x)+ 0 (x)= f (x) для любого f (x). 0 (х)называется нулевым. Роль нулевого многочлена играет 0.
6. Для любого многочлена f (x) существует многочлен g (x) такой, что f (x)+ g (x)=0. g (x) называется противоположным к f (x) и обозначается через - f (x). Ясно, что если f (x)= a 0 xn + a 1 xn - 1+...+ an -1 x + an, то - f (x)=- a 0 xn - a 1 xn - 1-...- an -1 x - an.
7. f (x) g (x)= g (x) f (x).
8. f (x)(g (x) h (x))=(f (x) g (x)) h (x).
9. Существует такой многочлен e (x), что f (x) e (x)= f (x) для любого f (x). e (x) называется единичным. Роль единичного многочлена играет 1.
10. (f (x)+ g (x)) h (x)= f (x) h (x)+ g (x) h (x).
1.1.11. Определение. Разностью многочленов f (x) и g (x) называется многочлен h (x), обозначаемый через f (x)- g (x) и равный f (x)+(- g (x)). Таким образом, по определению полагаем f (x)- g (x)= f (x)+(- g (x)).
1.1.12. Упражнение. Даны многочлены f (x)=3 x 3+2 x 2-5 и g (x)=4 x 4- x 3+2 x 2- x. Найти:
а) f (x)+ g (x), f (x)- g (x), f (x) g (x);
б) f (x) g (x)+ f 2(x).
Решение. а) Согласно определению суммы многочленов f (x) и g (x) имеем
f (x)+ g (x)=(0+4) x 4+(3+(-1)) x 3+(2+2) x 2+(0+(-1)) x +(-5+0)=4 x 4+2 x 3+4 x 2- x -5.
Далее, - g (x)=-4 x 4+ x 3-2 x 2+ x. Поэтому
f (x)- g (x)= f (x)+(- g (x))=-4 x 4+4 x 3+ x -5.
Наконец, согласно определению произведения имеем
f (x) g (x)=(3×4) x 7+(3×(-1)+2×4) x 6+(3×2+2×(-1)+0×4) x 5+
+(3×(-1)+2×2+0×4+(-5)×4) x 4+(3×0+2×(-1)+0×2+(-5)×(-1)) x 3+
+((-5)×2+0×(-1)+2×0)) x 2+((-5)×(-1)+0×0) x +(-5)×0=
=12 x 7+5 x 6+4 x 5-19 x 4+3 x 3-10 x 2+ x.
б) Заметим, что по свойству 10) имеем
f (x) g (x)+ f 2(x)=(f (x)+ g (x)) f (x).
Поэтому
f (x) g (x)+ f 2(x)=(4 x 4+2 x 3+4 x 2- x -5)(3 x 3+2 x 2-5)=
=12 x 7+14 x 6+16 x 5-15 x 4-27 x 3-30 x 2+5 x + 25.
Ответ:а) f (x)+ g (x)=4 x 4+2 x 3+4 x 2- x -5,
f (x)- g (x)=-4 x 4+4 x 3+ x -5,
f (x) g (x)=12 x 7+5 x 6+4 x 5-19 x 4+3 x 3-10 x 2+ x.
б) f (x) g (x)+ f 2(x)=12 x 7+14 x 6+16 x 5-15 x 4-27 x 3-30 x 2+5 x + 25.
1.1.12. Упражнение. Даны многочлены f (x)=2 x 3-3 x 2+7 х +1 и g (x)=3 x 2+2 x +5. Наиболее рациональным способом найти:
а) f (x)± g (x), f (x) g (x);
б) f (x) g (x)+ f (x), f 2(x)- f (x).
1.2. Делимость многочленов.
1.2.1. Теорема. Для любых двух многочленов f (x) и g (x) существуют такие многочлены q (x) и r (x), что
f (x)= g (x) q (x)+ r (x), (1.2.1)
причем степень r (x) меньше степени q (x) или r (x)=0. Многочлены q (x) и r (x) определяются однозначно.
Многочлен q (x) называется частным от деленияf (x) наg (x), а r (x) — остатком.
Укажем два метода нахождения частного и остатка.
1. Метод деления “ уголком ”. Этот метод проиллюстрируем на следующем примере.
1.2.2. Пример. Найти частное от деления многочлена f (x)=3 x 4-2 x 3+ x 2- x -1 на многочлен g (x)= x 2-3.
Решение. Будем вести запись процесса деления аналогично записи деления “уголком” целых чисел, пронумеровав каждый этап деления в круглых скобках. Итак:
(1) 3 x 4-2 x 3+ x 2- x -1| x 2-3
3 x 2 (берем по 3 x 2 )
(2) _3 x 4-2 x 3+ x 2- x -1| x 2-3
(умножаем 3 x 2 на g (x)) ® 3 x 4-9 х 2 3 x 2
(вычитаем из f (x) 3 x 4-9 х 2)® -2 x 3+10 x 2- x -1
(3) _3 x 4-2 x 3+ x 2- x -1| x 2-3
3 x 4-9 х 2 3 x 2-2 х (берем по -2 x)
_-2 x 3+10 x 2- x -1
(умножаем -2 x на g (x)) ® -2 x 3+6 х
(вычитаем -2 х 3+6 х из -2 x 3+10 х 2- х -1)® 10 x 2- x -1
(4) _3 x 4-2 x 3+ x 2- x -1| x 2-3
3 x 4-9 х 2 3 x 2-2 х +10(берем по 10)
-2 x 3+10 x 2- x -1
-2 x 3+6 х
_10 x 2- x -1
(умножаем 10 на g (x)) ® 10 x 2-30
-7 х +29 остаток
Таким образом, частное от деления q (x)=3 x 2-2 х +10, остаток r (x)=-7 х +29. При этом 3 x 4-2 x 3+ x 2- x -1=(x 2-3)(3 x 2-2 х +10)+(-7 х +29).
2. Метод неопределенных коэффициентов также проиллюстрируем на предыдущем примере. Так как ст. f (x)=4 и ст. g (x)=2, то ст. q (x)=2, поэтому q (x)= аx 2+ bх + c. Далее, ст. r (x)<ст. g (x), поэтому r (x)= dx + e. Следовательно, равенство (1.2.1) для данных многочленов (f (x) и g (x)) и искомых (q (x) и r (x)) принимает вид
3 x 4-2 x 3+ x 2- x -1=(x 2-3)(аx 2+ bх + c)+(dx + e). (1.2.2)
Выполнив операции в правой части и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему
решая которую, получаем
то есть имеем q (x)=3 x 2-2 х +10 и r (x)=-7 х +29.
1.2.3. Упражнение. Выполнить деление с остатком (двумя методами):
а)2 x 4-3 x 3+4 x 2-5 х +6 на x 2-3 x +1;
б) x 3-3 x 2- x -1 на 3 x 2-2 x +1;
в) x 4-2 x 3+4 x 2-6 х +8 на х -1;
г) 2 x 5-5 x 3-8 x на х +3;
д)4 x 3+ x 2 на х +1+ i;
е) x 3- x 2- х на х -1+2 i.
1.2.4. Определение. Если в представлении (1.2.1) r (x)=0, то говорят, что f (x) делится на g (x) нацело или что g (x) делитf (x).
1.2.5. Упражнение. При каких значениях а многочлен f (x) делится на многочлен g (x).
а) f (x)= х 4+ ах +6, g (x)= х 2+2;
б) f (x)= x 6+ x 3+ а, g (x)= x 3+2.
Р е ш е н и е. а) Разделим “уголком”:
_ х 4+ ах +6 | х 2+2
x 4+2 x 2 x 2+(a -2)
_(a -2) x 2+6
(a -2) x 2+2(a -2)
6-2(a -2)
Таким образом, f (x) делится на g (x), если остаток 6-2(a -2)=0, откуда а =5.
Ответ: а) при а =5.
Корни многочленов.
1.3.1. Определение. Если
f (x)= anxn + an -1 xn - 1+...+ a 1 x + a 0 — (1.3.1)
многочлен над числовым множеством F, c Î F, то
f (a)= anan + an -1 an - 1+...+ a 1 a + a 0 —
элемент из F. f (a) называется значнием многочлена f (x) при х = a. Если f (a)=0, то a называется корнем многочленаf (x).
1.3.2. Упражнение. Пусть дан многочлен f (x)= x 3-3 x +2. Найти:
а) f (2); б) f (1); в) f (-2); г) f (-1); д) f (-3); е) f (4).
Решение. а) f (2)=23-3×2+2=4; б) f (1)=13-3×1+2=0 (в частности, 1 — один из корней многочлена f (x)= x 3-3 x +2).
Ответ: а) f (2)=4; б) f (1)=0.
1.3.3. Упражнение. Найти многочлен второй степени f (x), если:
а) f (2)=6; f (1)=1; f (-1)=9;
б) f (3)=4; f (-1)=1; f (1)=2;
в) f (-2)=6; f (-1)=-1; f (-2)=5.
Решение. а) По условию имеем, что искомый многочлен имеет вид f (x)= ax 2+ bx + c. Поэтому f (2)=4 a +2 b + c, f (1)= a + b + c и f (-1)= a - b + c. Следовательно, для нахождения коэффициентов многочлена f (x)= ax 2+ bx + c необходимо решить систему Ее решением является а =3, b =-4, c =2.
Ответ: f (x)=3 x 2-4 x +2.
1.3.4. Упражнение. Найти корни многочлена f (x):
а) f (x)=3 х -4;
б) f (x)=2 x 3+8 x 2-10 х;
в) f (x)= x 4-2 x 3+ x 2;
г) f (x)=- x 3+ x 2-4 x +4.
Решение. Для нахождения корней многочлена достаточно решить уравнение f (x)=0.
а) Решением уравнения 3 х -4=0 является х = . Следовательно, — корень многочлена 3 х -4.
б) Решениями уравнения 2 x 3+8 x 2-10 х =0 являются х 1=0, х 2=-5, х 3=1. Следовательно, 0, -5, 1 — корни многочлена 2 x 3+8 x 2-10 х.
О т в е т: а) ; б) 0, -5, 1.
1.3.5. Теорема. a — корень многочлена f (x) тогда и только тогда, когда f (x)=(х - a) g (x) для некоторого многочлена g (x).
1.3.6. Теорема (основная теорема алгебры). Всякий многочлен n - й степени, где n >0, имеет по крайней мере один корень (действительный или комплексный).
Из теорем 1.3.5 и 1.3.6 вытекает
1.3.7. Следствие. Всякий многочлен Pn (x) n - й степени, где n >0, имеет в точности n корней; и если a 1, a 2, …, an - все корни многочлена, то его можно представить в виде
Pn (x)= a 0(x - a 1)(x - a 2)…(x - an), (1.3.2)
где a 0 - старший коэффициент многочлена.
1.3.8. Определение. Представление многочлена в виде (1.3.2) называется разложением его на линейные множители.
1.3.9. Упражнение. Разложить на линейные множители многочлены упражнения 1.3.4.
Решение. б) Так как корнем многочлена 2 x 3+8 x 2-10 х являются х 1=0, х 2=-5, х 3=1, то 2 x 3+8 x 2-10 х =2(х -0)(х +5)(х -1), то есть
2 x 3+8 x 2-10 х =2 х (х +5)(х -1).
Ответ: б) 2 x 3+8 x 2-10 х =2 х (х +5)(х -1).
1.3.10. Упражнение. Разложить на линейные множители многочлены:
а) x 4-2 x 2+1;
б) x 3+2 x 2- x -2;
в) x 3-7 x -6;
г) x 4+ x 3-11 x 2-9 x +18;
д) x 5+9 x 4+27 x 3+23 x 2-24 x -36.
Решение. г) Заметим, что х =1 - корень многочлена. Поэтому, разделив его (многочлен) на х -1, получим
x 4+ x 3-11 x 2-9 x +18=(х -1)(x 3+2 x 2-9 x -18).
Далее, множитель x 3+2 x 2-9 x -18 разложим, группируя слагаемые и вынося за скобку общий множитель:
x 3+2 x 2-9 x -18=(x 3+2 x 2)-(9 x +18)= x 2(x +2)-9(x +2)=(x 2-9)(x +2).
Наконец, x 2-9=(x -3)(x +3) как разность квадратов. Окончательно получаем
x 4+ x 3-11 x 2-9 x +18=(х -1)(x +2)(x -3)(x +3).
Ответ: x 4+ x 3-11 x 2-9 x +18=(х -1)(x +2)(x -3)(x +3).
1.3.11. Определение. Если в разложении (1.3.2) многочлена какой-либо корень встречается в точности k раз, то этот корень называется корнем кратностиk. Если k =1, то корень называется простым.
С учётом кратностей корней разложение (1.3.2) можно записать в виде
, (1.3.3)
где a 1, a 2, …, ak - попарно различные корни многочлена, k 1 - кратность корня a 1, k 2 - кратность корня a 2, и т.д. Ясно, что k 1+ k 2+…+ kr = n.
Например,
(х -3)(х +5)(х -1)(х -1)(х +5)(х -2)(х -3)(х +5)(х -3)=(х -2)(х -3)3(х +5)3(х -1)2.
Здесь 2- простой корень данного многочлена, 3 и -5 - корни кратности 3, 1 - корень кратности 2.
1.3.12. Теорема. Всякий многочлен с действительными коэффициентами разлагается на линейные и квадратные множители с действительными коэффициентами:
. (1.3.3)
При этом k 1+ k 2+…+ kr +2(s 1+ s 2+…+ sl)= n, и все квадратные множители x 2+ pix + qi не имеют действительных корней (другими словами, их дискриминанты отрицательны: -4 qi <0.
1.3.13. Определение. Представление многочлена в виде (1.3.3), где -4 qi <0, называется разложением многочлена на неприводимые множители; соответственно, x - ai (i =1, …, r), x 2+ pjx + qj (j =1, …, l) - неприводимые множители многочлена.
1.3.14. Упражнение. Разложить на неприводимые множители с действительными коэффициентами многочлены.
а) x 4+ x 3- x -1;
б) x 4+ x 3-11 x 2-9 x +18. (Указание: сгруппировать первые 2 слагаемые и 3-е, 4-е, 5-е слагаемые отдельно и заметить, что х =2 - корень многочлена).
Рациональные дроби.