Пример.
В издательстве выпущено 100 книг по овцеводству. Лотереей разыграны одна книга в 500 руб. и 10 по 10 руб. Найти закон распределения случайной величины х - возможного выигрыша одной книги.
Решение:
Возможны значениях: Х1= 500, х2 = 10,х3 = 0. Вероятности: р 1 =0,01; р2 =0,1; р3=1 - (р1+ р2) = 0,89.
Закон распределения:
X | |||
P | 0,01 | 0,1 | 0,89 |
2. Числовые характеристики дискретной случайной величины:
Функцией распределения случайной величины называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньшее х, то есть F(x) = P(X<x).
Кроме закона распределения, который дает полное представление о случайной величине, часто используют числа, которые описывают случайную величину суммарно. Такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. К ним относятся математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины.
Математическим ожиданием (М) дискретной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений, умноженных на их вероятности.
,
где xi, - значение случайной величины, pi - вероятность случайной величины.
Математическое ожидание дискретной случайной величины обладает свойствами, которые вытекают из его определения.
1. Математическое ожидание постоянной величины С есть постоянная величина
2. Математическое ожидание дискретной случайной величины X, умноженной на постоянную величину С, равно произведению математического ожидания М(Х) на С. То есть постоянный множитель можно выносить за знак суммирования
3. Математическое ожидание суммы дискретных случайных величин X и У равно сумме их математических ожиданий.
4. Математическое ожидание произведения независимых дискретных случайных величин X и Y равно произведению их математических ожиданий
независимы
Часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг его среднего значения. Дисперсией (рассеянием) D(x) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: D(X) = М[Х -М(Х)]2.
Формула для вычисления дисперсии D(X) = М(Х2)-[М(Х)]2.
Средним квадратичным отклонением ( (х)) случайной величины х называют квадратный корень из дисперсии: (х)
Исследование вариационных статистических рядов рассмотрим на примере.
Пример: Дан дискретный вариационный ряд
X | |||
N |
где X {x1x2, x3} характеристики случайной величины X,N {n1, п2,п3} - частоты появления элементов в выборке.
Провести исследование дискретного вариационного ряда
1) найти объём выборки;
2) составить закон распределения случайной величины X;
3) найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
Решение:
1) Найдём объем выборки: п = n1 +n2+п3=10+15+25=50.
2)Найдём относительные частоты: W1=10/50=1/5, w2=15/50=3/10, w3=25/50у =1/2.
Закон распределения случайной величины X представлен таблицей:
X | б | ||
W | 1/5 | 3/10 | 1/2 |
3) Найдём математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение:
M=w1x1 + w2x2 + w3x3=l/5 • 1+3/10 · 4+1/2 · 6=4/4;
D= w1 (x1-M)2 + w2 (x2 -M)2+ w3 (x3 -M)2 = 1/5 · (1-4,4) +3/10 · (4- 4,4) +1/2 · (6- 4,4)=3,64; (x) = = =1,9
Д/З.
Учебник 10 класс Никольский
Стр. 348-351 п. 14.1 прочитать параграф для ознакомления. По желанию №14.3 стр. 352.