ЗАДАЧИ К ОБЩЕМУ ЗАЧЕТУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, I СЕМЕСТР.
Предел последовательности
- Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что: а) ; б) ; в) ; г) .
- Докажите, что:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
- Докажите, что последовательности являются бесконечно большими:
а) ; б) ; в) ; г) .
- Докажите, что последовательность неограниченная.
- Докажите, что последовательность не является бесконечно большой.
- Докажите сходимость последовательности и найдите ее предел, если она определяется рекуррентным соотношением:
а) - произвольное положительное число, . б) .
- Найдите все предельные точки последовательностей , а также :
а) ; б) ; в) .
- Исследуйте сходимость последовательности в зависимости от параметра α.
- Найдите: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
Предел и непрерывность функции.
- Пусть , , , . Докажите, что: а) при ; б) при ; в) при .
11. Найдите: а) ; б) ; в) ; г) .
12. Найдите: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
- Докажите, что не существует: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .
- Докажите, что функция Дирихле не имеет предела ни в одной точке.
- Найдите: а) ; б) ; в) .
- Докажите, что: а) б) .
- Укажите все значения , для которых верно равенство при :
а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) .
- Пользуясь свойствами символа , укажите все значения , для которых верно равенство :
а) при ;
б) при ;
в) при ;
г) при ;
д) при .
- Укажите все значения , при которых верно равенство при :
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ; ж) ; з) ; и) .
20. Напишите формулу Тейлора с центром разложения и остаточным членом для указанных функций и указанных : а) , ; б) , ; в) , ; г) , ; д) , ; е) , .
21. Найдите: а) ; б) ; в) ;
22. Найдите: г) ; д) ;
е) ; ж) .
23. Найдите: а) ; б) ; в) .
24. Найдите: а) ; б) ; в) .
25. Найдите: а) ; б) ; в) .
26. Найдите: а) ; б) ; в) .
- Найдите точки разрыва функций и укажите их тип: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .
Дифференцирование
28. Пользуясь определением производной, найдите производную функции в точке :
а) , ; б) , ; в) , , , .
29. Найдите левую и правую производные функций:
а) в точке ; б) в точке ;
в) в точке ; г) в точке ;
д) в точке .
30. Найдите производную и дифференциал функции :
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ; ж) ;
з) ; и) ; к) .
31. Найдите производную функции в точке . Найдите значение дифференциала функции в точке для указанного значения :
а) ; б) .
32. Найдите первую и вторую производные функции в точке . Найдите значения первого и второго дифференциалов функции в точке для указанного значения :
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) ; е) .
33. Пусть причем функция имеет левую производную в точке . При каком выборе коэффициентов и функция будет: а) непрерывной в точке ? б) дифференцируемой в точке ?
34. Пусть При каком выборе коэффициентов и функция будет: а) непрерывной; б) дифференцируемой на промежутке ?
35. Заменяя функцию (подберите ее самостоятельно) многочленом Тейлора , найдите приближенное значение числа без калькулятора: а) , ; б) , ; в) , .
36. Напишите уравнение касательной к графику функции , заданной параметрически уравнениями , , при: а) ; б) .
37. Напишите уравнение касательной к графику функции , заданной параметрически уравнениями , , при: а) ; б) .
38. Найдите дифференциал n -го порядка функции : а) ; б) ; в) ; г) .
39. Найдите дифференциал –го порядка функции для указанного :
а) , ; б) , ; в) .
40. Найдите точку c в формуле конечных приращений Лагранжа для функции на сегменте .
41. Используя правило Лопиталя, найдите: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
42. Напишите формулу Тейлора с многочленом Тейлора порядка и остаточным членом в форме Пеано с центром разложения в точке для функций:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .
43. Разложите по формуле Маклорена до члена указанного порядка n включительно следующие функции: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
44. Найдите значение многочлена Тейлора функции для указанных значений , и :
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
45. Напишите выражение остаточного члена в форме Лагранжа формулы Тейлора для функции для указанных значений , и :
а) ;
б) ;
в) .
46. Найдите: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) .
Исследование поведения функций и построение графиков
47. Найдите промежутки возрастания и убывания функции , точки локального экстремума, промежутки сохранения направления выпуклости, точки перегиба. Нарисуйте эскиз графика функции: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) .
48. Найдите промежутки возрастания и убывания функции , точки локального экстремума. Найдите наклонные асимптоты графика функции. Нарисуйте эскиз графика функции: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; e) ; ж) ; з) ; и) .
Интегрирование.
49. Найдите: а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ; з) .
50. Найдите: а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ; з) ; и) .
51. Найдите: а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) .
52. Найдите: а) ; б) ; в) ; г) .
53. Найдите: а) ; б) .
54. Найдите: а) ; б) ; в) , если .
55. Найдите: а) ; б) ; в) .
56. Найдите: а) ; б) .
57. Найдите: а) ; б) ; в) ; г) .
58. Найдите: а) ; б) .
59. Найдите: а) , б) ;
60. Найдите: а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
61. Найдите: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .