Графический способ
Вертикальными линиями можно разделить фигуру над кривой Лоренца на два треугольника и несколько трапеций.
Площадь треугольника — половина основания на высоту, а трапеции — полусумма оснований на высоту (поверните голову на 90º, высоты расположены горизонтально, а основания — вертикально). Высоты равны размерам групп, а основания легко посчитать. В нашем случае площадь фигуры будет такой:
фигура | расчет площади | площадь |
треугольник a | 10%*20%/2=0,1*0,2/2 | 0,01 |
трапеция b | (10%+20%)/2*40%=0,3/2*0,4 | 0,06 |
трапеция c | (20%+20%)/2*30%=0,4/2*0,3 | 0,06 |
треугольник d | 20%*10%/2=0,2*0,1/2 | 0,01 |
Всего площадь фигуры (a+b+c+d) | 0,14 |
Теперь разделим ее на площадь треугольника под диагональю (а он, напоминаю, всегда равен 0,5) и получим: 0,14/0,5= 0,28
Таким образом, 0,28 или 28% и есть значение индекса Джини.
Другой графический способ: посчитать площадь фигур под кривой Лоренца, а затем вычесть их из площади треугольника под диагональю (0,5) и получить площадь над кривой. И ее уже разделить на 0,5.
Этот случай удобнее, когда цифры не такие круглые и ширина оснований трапеций над кривой неочевидна.
В нашем случае
фигура | расчет площади | площадь |
треугольник a | 10%*20%/2=0,1*0,2/2 | 0,01 |
трапеция b | (10%+40%)/2*40%=0,5/2*0,4 | 0,1 |
трапеция c | (40%+70%)/2*30%=1,1/2*0,3 | 0,165 |
трапеция d | (70%+100)%/2*10%=1,7/2*0,1 | 0,085 |
Всего площадь фигуры (a+b+c+d) | 0,36 |
Отнимаем 0,36 от 0,5 и получаем 0,14 — площадь фигуры над кривой
Далее, как и в первом способе, делим эту площадь на 0,5 (площадь треугольника под диагональю) и получаем: 0,14/0,5= 0,28
Алгебраический способ
Наиболее проста в употреблении формула:
где:
-доля i-ой группы в составе населения
-доля i-ой группы в объеме доходов
-кумулированная (накопленная) доля i-ой группы в составе населения
Составим таблицу на основе данных предыдущего примера:
Доля населения () | Доля от общего дохода () | Накопленная доля общего дохода () | ||
20% | 10% | 10% | 0,02 | 0,02 |
40% | 30% | 40% | 0,12 | 0,16 |
30% | 30% | 70% | 0,09 | 0,21 |
10% | 30% | 100% | 0,03 | 0,1 |
Итого: | 0,26 | 0,49 |
Если вы не понимаете, как построена эта таблица, откройте спойлер:
Как построена эта таблица?
Теперь можно подставить полученные суммы в формулу, которая приведена выше:
Мы получили ответ 0,28 — такой же, как и графическим методом.
Это самая простая в применении формула. Советую ее запомнить. А если вдруг хочется понять, как она выведена, откройте этот спойлер:
Как выведена эта формула?
Есть и другие формулы, расчет по одной из них приведен, например, вот тут. Мне кажется, что в ней проще запутаться, а получается ровно то же самое.
Чтобы проверить себя, решите задачу. Ответ и решение под спойлерами:
Задача
Предположим, что в некоторой стране N проживают три группы населения: бедные, средний класс и богатые. Группы равны по численности жителей, но различаются по уровню дохода: средний класс зарабатывает в два раза больше, чем бедные, а богатые зарабатывают в два раза больше, чем средний класс. Внутри групп доходы распределены равномерно. Нарисуйте график кривой Лоренца и рассчитайте индекс Джини.
Ответ
G≈0,286
[свернуть]
Алгебраическое решение
Поскольку средний класс зарабатывает в два раза больше, чем бедные, а богатые — в два раза больше среднего класса, то всего они зарабатывают семь долей бедного класса, то есть, соответственно, 1/7, 2/7 и 4/7, что примерно равно 0,143, 0,286 и 0,571
Доля населения(x) | Доля от общего дохода (y) | Накопленная доля общего дохода (cum y) | x*y | x*cum y |
0,333 | 0,143 | 0,143 | 0,048 | 0,048 |
0,333 | 0,286 | 0,429 | 0,095 | 0,143 |
0,333 | 0,571 | 1,000 | 0,190 | 0,333 |
Итого: | 0,333 | 0,524 |
G=1-2*0,524+0.333 ≈0,286
[свернуть]
Графическое решение
Удобней считать площадь под кривой, так как цифры в натуральных дробях.
Площадь треугольника a равна (1/7*1/3)/2=1/42
Площадь трапеции b равна (1/7+3/7)/2*1/3=2/7*1/3=2/21
Площадь трапеции c равна (3/7+1)/2*1/3=5/7*1/3=5/21
Общая сумма фигур 1/42+2/21+10/21=1/42+4/42+10/42=15/42
Чтобы получить фигуру над кривой Лоренца, нужно эту сумму вычесть из 0,5
0,5-15/42=21/42-15/42=6/42=3/21
Для того, чтобы получить значение индекса Джини, делим это число на 0,5
3/21 / 0,5 = 6/21 ≈0,286
Известны следующие данные о среднедушевых доходах
Среднедушевой доход, тыс. руб. /мес | Структура населения, х% | Доходы, тыс. ден. ед. | Структура доходов у, % |
0-7,5 | 17,3 | 64,9 | |
7,5-11,5 | 32,6 | 309,7 | |
11,5-15,5 | 24,5 | 330,8 | |
15,5-21,0 | 15,7 | 447,1 | |
21,0-30,0 | 7,1 | 181,0 | |
30,0-50,0 | 2,8 | 112,0 | |
Итого |
Найти коэффициенты Джини и Лоренца.
Решение задачи
Рассчитаем процент доходов для каждого интервала среднедушевого дохода.
Общие доходы 1445 тыс. ден. ед. принимаются за 100%.
Тогда 64,9 тыс. ден. ед. – это Х%.
1445 – 100%
64,9 – это Х%.
Значит Х=100%*64,9/1445=4,5%.
Общие доходы 1445 тыс. ден. ед. – это 100%.
Тогда 309,7 тыс. ден. ед. – это Х%.
Х=21,4%.
Остальные доли доходов рассчитываются аналогично.
Обобщим полученные данные в таблице.
Среднедушевой доход, тыс. руб. /мес | Структура населения, х% | Доходы, тыс. ден. ед. | Структура доходов у, % |
0-7,5 | 17,3 | 64,9 | 4,5 |
7,5-11,5 | 32,6 | 309,7 | 21,4 |
11,5-15,5 | 24,5 | 330,8 | 22,9 |
15,5-21,0 | 15,7 | 447,1 | 30,9 |
21,0-30,0 | 7,1 | 181,0 | 12,5 |
30,0-50,0 | 2,8 | 112,0 | 7,8 |
Итого |
Расчет коэффициентов Джини и Лоренца
Рассчитаем коэффициенты Джини и Лоренца с помощью таблицы.
Хi | Yi | Хi*Yi | Кумулята cum X | Кумулята cumY | Xi*cumYi |
0,173 | 0,045 | 0,008 | 0,173 | 0,045 | 0,008 |
0,326 | 0,214 | 0,070 | 0,499 | 0,259 | 0,084 |
0,245 | 0,229 | 0,056 | 0,744 | 0,488 | 0,120 |
0,157 | 0,309 | 0,049 | 0,901 | 0,797 | 0,125 |
0,071 | 0,125 | 0,009 | 0,972 | 0,922 | 0,065 |
0,028 | 0,078 | 0,002 | 1,000 | 1,000 | 0,028 |
1,000 | 1,000 | 1,000 | - | - |
Коэффициент Лоренца рассчитывается по следующей формуле: .
Модуль это неотрицательное число.
Рассчитаем коэффициент Лоренца по данным задачи.
Коэффициент Лоренца
=(|17,3-4,5|+|32,6-21,4|+|24,5-22,9|+|15,7-30,9|+|7,1-12,5|+|2,8-7,8|)/2=0,255=25,5%.
Коэффициент Джини рассчитывается по следующей формуле: .
Где cum yi – накопленная частота y.
Рассчитаем коэффициент Джини по данным задачи.
Коэффициент Джини = =1-2*0,43+0,194=0,334.