Вырожденное распределение
Говорят, что случайная величина имеет вырожденное распределение в точке , и пишут: , если принимает единственное значение с вероятностью 1, т.е. . Функция распределения имеет вид:
Распределение Бернулли
Говорят, что случайная величина имеет распределение Бернулли с параметром , и пишут: , если принимает значения 1 и 0 с вероятностями и соответственно. Случайная величина с таким распределением равна числу успехов в одном испытании схемы Бернулли с вероятностью успеха : ни одного успеха или один успех. Таблица распределения имеет вид:
Функция распределения случайной величины такова:
Биномиальное распределение
Говорят, что случайная величина имеет биномиальное распределение с параметрами и , и пишут: , если принимает значения с вероятностями . Случайная величина с таким распределением имеет смысл числа успехов в испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха . Таблица распределения имеет вид:
Распределение Бернулли совпадает с распределением .
Распределение Пуассона
Говорят, что случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром , где , и пишут: , если принимает значения с вероятностями .
Геометрическое распределение
Говорят, что случайная величина имеет геометрическое распределение с параметром , и пишут , если принимает значения с вероятностями . Случайная величина с таким распределением имеет смысл номера первого успешного испытания в схеме Бернулли с вероятностью успеха . Таблица распределения имеет вид:
Равномерное распределение
Говорят, что имеет равномерное распределение на отрезке , и пишут: , если плотность распределения постоянна на отрезке и равна нулю вне него:
Очевидно, что площадь под графиком этой функции равна единице и . Поэтому является плотностью распределения.
Случайная величина имеет смысл координаты точки, выбранной наудачу на отрезке . Вычислим по определению 30 функцию распределения случайной величины :
Получим следующую непрерывную функцию распределения:
Показательное распределение
Говорят, что имеет показательное (экспоненциальное) распределение с параметром , и пишут: , если имеет следующую плотность распределения:
Функция распределения случайной величины непрерывна:
Показательное распределение является единственным абсолютно непрерывным распределением, для которого выполнено свойство «нестарения» (и в этом смысле оно является непрерывным аналогом дискретного геометрического распределения).
Гамма-распределение
Говорят, что имеет гамма-распределение с параметрами , , и пишут: , если имеет следующую плотность распределения:
где постоянная вычисляется из свойства (f2) плотности так:
откуда . Здесь через обозначен интеграл
называемый гамма-функцией Эйлера(3); при целых положительных , . Замена в интеграле Пуассона даст .
Показательное распределение — частный случай гамма-распределения: .
Нормальное распределение
Говорят, что имеет нормальное (гауссовское (1) ) распределение с параметрами и , где , , и пишут: , если имеет следующую плотность распределения:
Убедимся, что является плотностью распределения. Так как для всех , то свойство (f1) выполнено. Проверим (f2):
где через обозначен табличный интеграл (интеграл Пуассона (2))
Нормальное распределение с параметрами и называется стандартным нормальным распределением. Плотность стандартного нормального распределения равна .
Ввиду особой роли нормального распределения в теории вероятностей (мы ещё узнаем о ней) существует даже специальное обозначение для функции распределения нормального закона . Первообразная функции не может быть выражена через элементарные функции. Поэтому функцию можно записать лишь в виде интеграла:
Функция табулирована, т.е. её значения при различных вещественных вычислены. Их можно найти в соответствующих таблицах.
- Свойства нормального распределения (в том числе вычисление его математического ожидания и дисперсии).
Свойство 1. Для любого справедливо соотношение:
Следствие 1. Если , то .
Следствие 2. Если , то
Свойство 2. ,
Свойство 3. Если , то для любого
Свойство 4 (правило трех сигм). Если , то
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
С тандартное нормальное распределение :
Математическое ожидание этого распределения существует в силу конечности :
Математическое ожидание равно
так как под сходящимся интегралом стоит нечётная функция. Далее,
Поэтому
Нормальное распределение :
Если , то .
,
- Определения независимости случайных величин.
Определение 1. Случайные величины называют независимыми (в совокупности), если для любого набора борелевских множеств ,..., имеет место равенство:
Определение 2. Случайные величины называют попарно независимыми, если независимы любые две из них.
Определение 3. Случайные величины независимы (в совокупности), если для любых имеет место равенство:
Определение 4. Случайные величины с дискретным распределением независимы (в совокупности), если для любых чисел имеет место равенство:
Определение 5. Случайные величины с абсолютно непрерывным совместным распределением независимы (в совокупности), если плотность совместного распределения равна произведению плотностей случайных величин , т.е. для любых имеет место равенство:
.
- Определение и свойства математического ожидания.
Определение 1. Математическим ожиданием (средним значением, первым моментом) случайной величины с дискретным распределением, задаваемым таблицей , где , называется число
если данный ряд абсолютно сходится, т.е. если . В противном случае говорят, что математическое ожидание не существует.
Определение 2. Математическим ожиданием (средним значением, первым моментом) случайной величины с абсолютно непрерывным распределением с плотностью распределения называется число
если этот интеграл абсолютно сходится, т.е. если
В противном случае математическое ожидание не существует.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Во всех свойствах предполагается, что рассматриваемые математические ожидания существуют.
1.
Для произвольной борелевской функции
2.
Математическое ожидание постоянной равно ей самой: .
3.
Постоянную можно вынести за знак математического ожидания:
4.
Математическое ожидание суммы любых случайных величин равно сумме их математических ожиданий, если только эти математические ожидания существуют:
5.
Если п.н., т.е. если , то .
6.
Если п.н., и при этом , то п.н., т.е. .
7.
Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: если и независимы и их математические ожидания существуют, то
- Определение и свойства дисперсии.
Дисперсия есть «среднее значение квадрата отклонения случайной величины от своего среднего». Посмотрим, за что эта величина отвечает.
Пусть случайная величина принимает значения с равными вероятностями, а случайная величина — значения с равными вероятностями. Тогда , поэтому , . Говорят, что дисперсия характеризует степень разброса значений случайной величины вокруг её математического ожидания.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Свойства дисперсии следуют из соответствующих свойств математического ожидания.
1.
Дисперсия может быть вычислена по формуле: .
2.
При умножении случайной величины на постоянную дисперсия увеличивается в раз: .
3.
— Дисперсия всегда неотрицательна: .
— Дисперсия обращается в нуль лишь для вырожденного распределения: если , то п. н., и наоборот.
4.
Дисперсия не зависит от сдвига случайной величины на постоянную: .
5.
Если и независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий: .
6.
Минимум среднеквадратического отклонения случайной величины от точек вещественной прямой есть среднеквадратическое отклонение от своего математического ожидания: .
- Определение и свойства коэффициента корреляции.
Коэффициентом корреляции случайных величин и , дисперсии которых существуют и отличны от нуля, называется число
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Коэффициент корреляции обладает свойствами:
1)
если и независимы, то ;
2)
всегда ;
3)
тогда и только тогда, когда и п. н. линейно связаны, т.е. существуют числа и такие, что .
[Сокращение «п.н.» читается как «почти наверное» и означает «с вероятностью 1»]
- Определение сходимости по вероятности. Неравенства Маркова и Чебышёва.
Говорят, что последовательность случайных величин сходится по вероятности к случайной величине при , и пишут: , если для любого
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(неравенство Маркова). Если , то для любого
(обобщённое неравенство Чебышёва). Пусть функция не убывает и неотрицательна на . Если , то для любого
- Закон больших чисел в форме Чебышёва (с док-вом). Закон больших чисел Бернулли.
Для любой последовательности попарно независимых и одинаково распределённых случайных величин с конечным вторым моментом имеет место сходимость:
Доказательство.
Обозначим через сумму первых случайных величин. Из линейности математического ожидания получим:
Пусть . Воспользуемся неравенством Чебышёва:
так как . Заметим, что дисперсия суммы превратилась в сумму дисперсий в силу попарной независимости слагаемых, из-за которой все ковариации обратились в нуль при . Сумма же дисперсий слагаемых равняется из-за их одинаковой распределённости.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Пусть событие может произойти в любом из независимых испытаний с одной и той же вероятностью , и пусть — число осуществлений события в испытаниях. Тогда . При этом для любого
- Определение сходимости по распределению (слабой сходимости).
Пусть задана последовательность случайных величин , задано некоторое распределение с функцией распределения и пусть — произвольная случайная величина, имеющая распределение .
Говорят, что последовательность случайных величин сходится слабо или по распределению к случайной величине и пишут: , если для любого такого, что функция распределения непрерывна в точке , имеет место сходимость
при .
Итак, слабая сходимость — это сходимость функций распределения во всех точках непрерывности предельной функции распределения.
- Центральная предельная теорема.
(ЦПТ Ляпунова). Пусть — независимые и одинаково распределённые случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией: . Тогда имеет место слабая сходимость
последовательности «центрированных и нормированных» сумм случайных величин к стандартному нормальному распределению.