III. Различные виды дифференциальных уравнений и их решение.
1. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида:
.
Чтобы решить это уравнение, надо сначала разделить переменные:
, а затем проинтегрировать обе части получившегося равенства:
.
Пример: Найти общее решение уравнения .
Решение: Разделим переменные: . Интегрируем обе части этого равенства:
;
;
;
т.к. произвольная постоянная может принимать любые числовые значения, то для удобства дальнейших преобразований возьмем не С, а .
Умножив обе части уравнения на 2, получим .
Применяя свойство логарифма произведения к правой части, получим .
Потенцируем получившееся равенство: ,
откуда - это и есть общее решение данного уравнения.
Однородное дифференциальное уравнение первого порядка.
Однородной функцией переменных и называется функция, все члены которой имеют одинаковую степень.
Примеры: -однородные функции соответственно второй, третьей и первой степени.
Уравнение вида , где , - однородные функции одной и той же степени, называется однородным дифференциальным уравнением.
Однородное дифференциальное уравнение путем подстановки сводится к уравнению с разделяющимися переменными.
Пример: Найти общее решение уравнения
.
Решение: Данное уравнение является однородным первой степени относительно переменных и . Пусть , где - новая функция от .
Найдем дифференциал этого произведения: . Подставим выражения и в данное уравнение:
;
упростим его: ;
;
;
.
Таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируем обе его части:
;
;
.
Заменяем в этом выражении на , получим - это и есть общее решение данного уравнения.
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка.
Уравнение вида , где и - функции от , называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. В отдельных случаях и могут быть постоянными величинами.
Это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки , где и - новые функции от .
Пример: Найти общее решение уравнения
.
Решение. Это – линейное уравнение, где ; .
Пусть , дифференцируем это равенство по :
.
Подставим выражения для и в данное уравнение:
или
(*).
Так как одну из вспомогательных функций и можно взять произвольно, то за возьмем одно из частных решений (С=0) уравнения
.
Получили уравнение с разделяющимися переменными.
Разделим переменные и интегрируем обе части:
;
;
.
Подставим найденную функцию в уравнение (*), получим уравнение:
; откуда
- уравнение с разделяющимися переменными.
Разделяем переменные и интегрируем обе части:
;
;
.
Зная и , получим теперь общее решение данного уравнения:
.
ЗАМЕЧАНИЯ: 1). Если в результате интегрирования в одной из частей дифференциального уравнения получают функцию , то удобно постоянное слагаемое С брать в виде .
2). Тогда для упрощения левой и правой части используют определение, виды и свойства логарифма:
1. Логарифмом числа N по основанию a () называется показатель степени, в которую надо возвести основание степени a, чтобы получить число N, т.е., .
2. Из определения следует основное логарифмическое тождество .
3. Обычно используют только один вид логарифма – натуральный логарифм:
4. Свойства логарифмов:
ü Логарифм произведения
ü Логарифм частного
ü Логарифм степени
ü
5. В результате таких преобразований получаем дифференциальное уравнение вида , потенцируя которое, получаем уравнение вида .
6. Однако, иногда приходится преобразовывать слагаемое, например, , к логарифму, чтобы стали возможны вышеперечисленные действия. Это преобразование выполняют следующим образом:
.