Понятие множества является одним из основных в математике. Это первичное понятие, которое стараются определить через другие простые понятия. Напомним, что немецкий математик Георг Кантор (1845 – 1918), чьи работы лежат в основе современной теории множеств, говорил, что множество – это многое, мыслимое как единое. Давид Гильберт (1862-1943), известный немецкий математик, сказал о теории множеств, что она представляет собой высочайшее проявление человеческого гения и одно из самых высоких достижений чисто духовной деятельности человека.
Множеством называется совокупность, собрание некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. В множествах могут содержаться объекты произвольной природы: числа, фигуры, предметы, понятия и т.п. Объекты, входящие в множество, называются его элементами.
Множества обозначаются латинскими прописными буквами: А, В, С, …, Х, Y, Z, а элементы множество строчными буквами: a, b, c, …, x,y,z. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки (см. табл.1.3).
Таблица 1.3
Множества и операции над ними
| № | Обозначение | Название | Примеры |
| 1. | 
| множество |  - множество  состоит из элементов  ;
|
| 2. | 
| Принадлежит, из |  – элемент  принадлежит множеству А, из ;
|
| 3. |  , 
| не принадлежит |  -  не принадлежит множеству ,
не является элементом множества ;
|
| 4. | 
| пустое множество | – множество, не содержащее не одного элемента
|
| включено в … | А включено в В, если каждый элемент множества  принадлежит также и множеству  : 
| |
| включает |  включает , если включено в :
| |
| = | равно | равно , если и включены друг в друга:
| |
| 5. | 
| содержится в …, строго включено в … |  – множество содержится в множестве  , т.е. все элементы множества являются элементами множества , но в множестве имеются элементы, не принадлежащие :  ; называется подмножеством множества ;
строго включено в , если включено в , но не равно ему: 
|
| 6. | 
| содержит, строго включает в себя |  - содержит множество : является подмножеством множества ; Встрого включает А, если Астрого включено в В: 
|
| 7. | 
| объединение или сумма множеств |  – множество, содержащие элементы множества или элементы множества В,  (рис.1.1);
|
| Продолжение таблицы 1.3 | |||
| № | Обозначение | Название | Примеры |
| 8. | 
| пересечение или умножение множеств |  – множество, содержащие элементы, принадлежащие множеству и множеству В одновременно,  (рис.1.2);
|
| и не пересекаются, если у них нет общих элементов:
| и не пересекаются, если у них нет общих элементов: и не пересекаются  
| |
| и находятся в общем положении
| и находятся в общем положении, если существует элемент, принадлежащий исключительно множеству , элемент, принадлежащий исключительно множеству , а также элемент, принадлежащий обоим множествам:
и находятся в общем положении  
| ||
| 9. | \ | разность множеств, …без… | \ – множество, содержащие элементы, принадлежащие множеству, но не принадлежащие множеству ; ( без );
 = \ ,  (рис. 1.3).
|
Рис.1.1. Объединение множеств Рис. 1.2. Пересечение множеств
Рис. 1.3. Разность множеств
Классификация множеств
Для дальнейшего изучения множеств попытаемся дать некоторую их классификацию. Прежде всего, множества можно разделить на конечные и бесконечные.
Конечным множеством называется такое множество, которое состоит из конечного числа элементов. Примерами конечных множеств могут быть множество букв русского алфавита, множество корней алгебраического уравнения n-й степени и др. Причем неважно, известно ли число элементов множества или нет, главное, чтобы оно существовало. Иначе, конечное множество (если оно не пусто) – это такое множество, элементы которого можно пересчитать, т. е. перенумеровать. Различные элементы получат различные номера, например, a 1, a 2,..., an,, причем все числа от 1 до n будут использованы.
Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Бесконечное множество, каждому элементу которого можно поставить в соответствии натуральное число, называется счётным множеством. Множество, не являющееся счётным, называется несчётным.
Рассмотрим примеры счетных множеств. Это
– Множество всех натуральных, целых и рациональных чисел являются счётными множествами.
– Множество всех четных положительных чисел.
Приведем некоторые свойства счетных множеств.