1. Ознакомьтесь с понятиями и положениями вероятностно-статистических методов обработки экспериментальных данных.
2. Запишите постановку задачи применительно к своему варианту задания. Уясните цель задачи.
3. Выполните корреляционный анализ результатов эксперимента.
4. Выполните регрессионный анализ данных эксперимента. Полученное уравнение регрессии проверьте на адекватность.
5. Запишите выводы о результатах выполненных анализов.
Содержание отчета
1. Название темы практической работы.
2. Постановка задачи построения эмпирической зависимости методом корреляционно-регрессионного анализа.
3. Методика проведения корреляционного анализа.
4. Методика проведения регрессионного анализа.
Контрольные вопросы для самопроверки
1. В чем отличие стохастической связи между случайными величинами от функциональной?
2.. Что объединяет и что различает корреляционную и стохастическую связи между случайными величинами?
3. Какие три вопроса исследуют с помощью корреляционного анализа?
4. Что характеризует коэффициент корреляции? Какие значения он может принимать?
5. Что оценивает корреляционное отношение? Какие значения может принимать корреляционное отношение?
6. Какую задачу решают с помощью регрессионного анализа? Какие процедуры включает в себя регрессионный анализ?
7. В чем сущность проверки на адекватность полученной регрессионной зависимости?
Литература
1. Основы научных исследований: Учебник для вузов / под ред. В. Г. Кучерова / ВолгГТУ. Волгоград, 2004. 304 с.
2. Кацев П. Г. Статистические методы исследования стойкости режущего инструмента / П. Г. Кацев. - М.: «Машиностроение», 1974. – 231 с.
3. Солонин И. С. Математическая статистика в технологии машиностроения / И. С. Солонин. - М.: «Машиностроение», 1972. – 216 с.
Приложение. Значения F -критерия Фишера при уровне значимости α =0,05
f 1 | 2 | ∞ | ||||||||
f 2 | ||||||||||
161,4 | 199,5 | 215,7 | 224,5 | 230,1 | 233,9 | 238,8 | 243,9 | 249,0 | 254,32 | |
18,51 | 19,00 | 19.16 | 19,25 | 19,30 | 19.33 | 19,37 | 19.41 | 19,45 | 19,50 | |
10,13 | 9,55 | 9,28 | 9,12 | 9,01 | 8,94 | 8,84 | 8,74 | 8,64 | 8,53 | |
7,71 | 6,94 | 6,59 | 6,39 | 6,26 | 6,16 | 6,04 | 5,91 | 5,77 | 5,63 | |
6,61 | 5,79 | 5,41 | 5,19 | 5,05 | 4,95 | 4,82 | 4,68 | 4,53 | 4,36 | |
5,32 | 4,46 | 4,07 | 3,84 | 3,69 | 3,58 | 3,44 | 3,28 | 3,12 | 2,93 | |
4,96 | 4,10 | 3,71 | 3,48 | 3,33 | 3,22 | 3,07 | 2,91 | 2,74 | 2,54 | |
4,75 | 3,88 | 3,49 | 3,26 | 3,11 | 3,00 | 2,85 | 2,69 | 2,50 | 2,30 | |
4,60 | 3,74 | 3,34 | 3,11 | 2,96 | 2,85 | 2,70 | 2,53 | 2,35 | 2,13 | |
4,49 | 3,63 | 3,24 | 3,01 | 2,85 | 2,74 | 2,59 | 2,42 | 2,24 | 2,01 | |
4,41 | 3,55 | 3,16 | 2,93 | 2,77 | 2,66 | 2,51 | 2,34 | 2,15 | 1,92 | |
4,35 | 3,49 | 3,10 | 2,87 | 2,71 | 2,60 | 2,45 | 2,28 | 2,08 | 1,84 | |
4,30 | 3,44 | 3,05 | 2,82 | 2,66 | 2,55 | 2,40 | 2,23 | 2,03 | 1,78 | |
4,26 | 3,40 | 3,01 | 2,78 | 2,62 | 2,51 | 2,36 | 2,18 | 1,98 | 1,73 | |
4,22 | 3,37 | 2,98 | 2,74 | 2,59 | 2,47 | 2,32 | 2,15 | 1,95 | 1,69 | |
4,20 | 3,34 | 2,95 | 2,71 | 2,56 | 2,44 | 2,29 | 2,12 | 1,91 | 1,65 | |
4,17 | 3,32 | 2,92 | 2,69 | 2,53 | 2,42 | 2,27 | 2,09 | 1,89 | 1,62 |
Пример оформления отчета выполнения задания
Практическая работа №2.
Выполнил Фамилия И. О.
Тема 2. Вероятностно-статистические методы обработки результатов эксперимента. Корреляционно-регрессионный анализ
Опытных данных
Задача. Выдвинута рабочая гипотеза: «При точении стали ЭИ 107 между высотой неровностей Rz и подачей s существует стохастическая связь, которая может быть описана уравнением регрессии вида ». Для проверки достоверности этой гипотезы выполнены экспериментальные исследования, результаты которых приведены в таблице 1
Таблица 1. Результаты эксперимента по исследованию влияния подачи s
на величину неровностей Rz при точении стали ЭИ 107
Подача s, мм/об | Высота неровностей Rz, мкм | ||||
опыт 1 | опыт 2 | опыт 3 | опыт 4 | опыт 5 | |
0,12 | 5,2 | 3,1 | 7,3 | 2,3 | 6,0 |
0,28 | 9,1 | 8,2 | 12,3 | 14,0 | 7,1 |
0,44 | 21,1 | 17,3 | 15,8 | 10,7 | 12,4 |
0,60 | 33,3 | 28,5 | 40,1 | 30,2 | 23,3 |
0,76 | 51,9 | 55,4 | 42,6 | 45,1 | 38,5 |
0,92 | 75,6 | 76,2 | 73,1 | 76,5 | 75,5 |
Произвести статистическую обработку экспериментальных данных и сделать заключение о достоверности выдвинутой рабочей гипотезы. При подтверждении гипотезы о наличии связи между параметром и фактором режима обработки построить уравнение регрессии и проверить его на адекватность.
Решение.
1. Выполним корреляционный анализ. Этот анализ позволяет установить:
- существует ли связь между случайными величинами y и x?
- какова сила этой связи?
- какую форму имеет связь, т. е. является она линейной или нелинейной (криволинейной)?
Для ответа на поставленные вопросы вычислим коэффициент корреляции r по формуле .
Поскольку для каждого значения фактора s опыт в эксперименте повторялся 5 раз, то предварительно найдем средние значения исследуемого параметра Rz, его общее среднее и среднее фактора s Здесь и далее фактор s и параметр Rz будем обозначать через переменные x и y соответственно.
Для выполнения различных вычислений используем табличный процессор Excel. Копируя таблицу 1 на рабочий лист Excel и используя его статистические функции, получим
Таблица 2. Результаты расчета . ; .
Подача s, мм/об | Высота неровностей Rz, мкм | |||||
опыт 1 | опыт 2 | опыт 3 | опыт 4 | опыт 5 | ||
0,12 | 5,2 | 3,1 | 7,3 | 2,3 | 6,0 | 4,78 |
0,28 | 9,1 | 8,2 | 12,3 | 14,0 | 7,1 | 10,14 |
0,44 | 21,1 | 17,3 | 15,8 | 10,7 | 12,4 | 15,46 |
0,60 | 33,3 | 28,5 | 40,1 | 30,2 | 23,3 | 31,08 |
0,76 | 51,9 | 55,4 | 42,6 | 45,1 | 38,5 | 46,70 |
0,92 | 75,6 | 76,2 | 73,1 | 76,5 | 75,5 | 75,38 |
Подставляя полученные данные в формулу коэффициента корреляции, найдем r = 0,95. Полученное значение r указывает, что гипотеза о наличии связи между величиной неровностей Rz и подачей s является достоверной.
2. Выполним регрессионный анализ. Задачей этого анализа является построение уравнения регрессии y = f (x), описывающего зависимость исследуемого параметра y от фактора x. В нашей задаче зависимость высоты неровностей Rz от подачи s.
Методика регрессионного анализа предусматривает выполнение следующих процедур.
а) построение корреляционного поля. Эта процедура сводится к нанесению в плоскости XY точек результатов эксперимента. В случае большого объема экспериментальных данных (что имеет место в рассматриваемой задаче) вместо корреляционного поля по средним значениям параметра строится эмпирическая линия регрессии. Для этого на плоскости XY наносят точки средних значений , (i = 1, 2,…, n) и соединяют их отрезками прямых линий. Полученная ломаная линия является эмпирической линией регрессии. Ее вид позволяет принять решение о виде теоретической регрессионной зависимости между параметром y и его фактором x.
Выполнив эту процедуру с помощью Excel, получим приведенный на рисунке график.
б) исходя из расположения опытных точек, уравнение регрессии зададим в виде .
в) определение коэффициентов уравнения регрессии. Для нахождения коэффициентов уравнения регрессии воспользуемся методом выбранных точек. Так как уравнение содержит три неизвестных коэффициента, то достаточно задать координаты трех точек. Выберем точки (0,12; 4,78), (0,6; 31,08) и (0,92; 75,38). Подставив координаты этих точек в выбранное уравнение регрессии, получим систему линейных алгебраических уравнений
Решая эту систему методом Гаусса, находим . Таким образом, зависимость высоты неровностей Rz от подачи s имеет вид .
Выполним дисперсионный анализ. Цель анализа заключается в проверке адекватности полученной теоретической регрессионной зависимости с использованием критерия Фишера. Последний вычисляется по формуле , где – дисперсия адекватности; – средняя дисперсия всех результатов эксперимента. Эти дисперсии определяются по формулам
; ,
в которых yi Т, yi э – теоретические и опытные значения параметра y в i - й группе; , - опытное среднее арифметическое значение параметра y в i - й группе;
d – количество коэффициентов теоретического уравнения регрессии.
Подставляя в формулы дисперсий данные таблицы 2 и вычисленные по уравнению регрессии теоретические значения yi Т, получим ; .
Следовательно, , что значительно меньше табличного значения критерия Фишера .
Таким образом, уравнение регрессии является адекватным и может быть использовано для прогнозирования высоты неровностей при обработке деталей в диапазоне исследованных значений подачи.
Выводы. Результаты статистической обработки результатов экспериментальных исследований позволяют сделать следующие выводы.
1. Подтверждена рабочая гипотеза о наличии связи между высотой неровностей Rz и подачей s при точении стали ЭИ 107.
2. Уравнение регрессии между высотой неровностей Rz и подачей s имеет вид , адекватность которого подтверждена результатом проверки по критерию Фишера.