Пространственная задача теплопроводности.
Распространение тепла в шаре
Решение задачи теплопроводности в пространстве двух и трех измерений связано с большими трудностями математического характера. Возможности использования математического аппарата в настоящем курсе сильно ограничены. Поэтому рассмотрим краевую задачу для трехмерного пространства, решение которой можно привести к одномерному случаю.
Пусть имеем однородный шар радиуса , центр которого находится в начале координат. Предположим, что как в начальный, так и в последующие моменты времени температура одна и та же во всех точках, находящихся на одинаковой расстоянии от центра шара. Во все время наблюдения внешняя поверхность шара поддерживается при нулевой температуре. Определим температуру любой точки внутри сферы в момент времени .
Преобразуем уравнение теплопроводности в пространстве трех координат
(1.250) |
к уравнению с одной пространственной координатой, т.к. температура в точке для по условию зависит от ее расстояния до начала координат.
Значит,
, где . | (1.251) |
Из (1.250) найдем
,
.
Аналогично определяются , . После подстановки в (1.250) найденных выражений для частных производных , , уравнение примет вид
. | (1.252) |
Тогда начальное условие запишется в виде
, | (1.253) |
где - заданная функция в интервале , а граничное условие
. | (1.254) |
Если ввести новую неизвестную функцию
, | (1.255) |
то задача легко сводится к решенной ранее одномерной краевой задаче с однородными граничными условиями. В самом деле, из (1.255) найдем
, , .
Выразим отсюда , , и подставим их значения в (1.252). Уравнение (1.252) преобразуется к виду
,
а условия для новой функции таковы:
,
, .
В результате мы пришли к задаче о теплопроводности в конечном стержне длины , на концах которого поддерживается температура, равная нулю, а начальное распределение температуры задается функцией . Эта задача решена в п. 1.33.1А. Согласно формулам (1.202) и (3.203) имеем
,
где
.
Искомая же температура .
Уравнения эллиптического.
Задачи, приводящие к уравнениям Пуассона и Лапласа
Исследование стационарных процессов различной физической природы приводит к уравнениям эллиптического типа. Простейшими и наиболее распространенными уравнениями этого типа являются уравнения Пуассона и Лапласа.
К уравнениям Пуассона и Лапласа, помимо задачи о распределении температуры в стационарном тепловом поле, что было установлено в п. 1.31, приводятся многие задачи из электростатики, магнитостатики, гидродинамики и других разделов естествознания. Остановимся на некоторых из них.
Основное уравнение электростатики
Пусть в некоторой однородной среде имеется стационарное, т.е. не зависящее от времени, электрическое поле, образованное электрическими зарядами. - напряженность электрического поля; - плотность зарядов; диэлектрическую постоянную среды примем равной единице.
Основным законом электростатического поля является теорема Гаусса: поток напряженности через произвольную замкнутую поверхность равен (в абсолютной системе единиц) алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности, умноженной на :
.
В общем случае электрические заряды распределены по объему с некоторой плотностью . Заряд , помещенный в элементе объема , можно рассматривать как точечный заряд, а данное электрическое поле напряженности - как поле, образованное наложением точечных зарядов. Поэтому сумма должна быть заменена на . Итак, в силу основного закона
. | (1.256) |
Применив к поверхностному интегралу формулу Остроградского-Гаусса
,
из (1.256) получаем
или
.
Отсюда, ввиду произвольности объема , следует, что равно нулю подынтегральное выражение. Таким образом, перешли к дифференциальной форме теоремы Гаусса
. | (1.257) |
Из электродинамики известно, что электростатическое поле является безвихревым, или потенциальным, т.е. существует такая скалярная функция , для которой
,
где - электрический потенциал.
В векторном анализе было установлено, что
.
С учетом этого уравнение (1.257) примет вид
. | (1.258) |
В системе единиц СИ уравнение (1.258) записывается проще:
.
Отсюда заключаем, что потенциал электрического поля удовлетворяет уравнению Пуассона. Если объемных зарядов нет , то потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа:
.