Непрерывность функции.
1.Непрерывность функции в точке.
Свойства функций непрерывных в точке.
2.Односторонние пределы, односторонняя непрерывность.
3.Точки разрыва функции и их классификация.
4. Свойства функций непрерывных на отрезке.
Введение.
Наше представление о непрерывности функции обычно связано с изображением этой функции в виде графика, причём функцию мы считаем непрерывной, если её график представляет собой сплошную, непрерывную линию. Однако такое представление о непрерывной функции даёт только наглядный смысл понятия непрерывности; определением непрерывной функции это служить не может, так как здесь мы ссылаемся на другое, ещё не определённое понятие – понятие непрерывности линии
Для того чтобы изучить свойства непрерывных функций, необходимо иметь четкое определение непрерывности. Это определение должно быть, во-первых, математически строгим (т.е. опираться на ранее введённые понятия) и, во-вторых, согласовываться с тем наглядным, интуитивным представлением о непрерывной функции, которое дано нам практикой, опытом.
Непрерывность функции в точке.
Свойства функций непрерывных в точке.
Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий математического анализа.
Определение1. Функция называется непрерывной в точке , если предел функции и её значение в этой точке равны, т.е. (1)
Из определения следует, что если функция непрерывна в точке , то она определена в этой точке, т.е. существует . Так как, то соотношение (1) можно записать в виде
,
т.е. для непрерывной функции можно менять местами знак функции и знак предела.
Определение2. (на языке последовательностей). Функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности значений аргумента сходящейся к , последовательность соответствующих значений функции: сходящейся к .
Определение3. (''на языке ''). Функция называется непрерывной в точке , если для любого E>0 существует такое, что для всех x удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .
Эквивалентность этих определений очевидна.
Перенесем в равенстве (1) в левую часть и внесём под знак предела. Так как условия и равносильны, то получаем
(2)
Разность называется приращением аргумента x в точке и обозначается , а разность - приращением функции в точке и обозначается . Таким образом, , .
У
f (x0+∆x) y=f(x)
∆y
f(x0)
∆x
0 x0 x0+∆x x
Равенство (2) в новых обозначениях примет вид
(3)
Соотношение (3) является ещё одним определением непрерывности функции в точке.
Определение4. Функция называется непрерывной если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Теорема1. Все основные элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения.
Теорема2. Пусть функции и непрерывны Тогда функции также непрерывны в точке (последняя при условии, что ).
Теорема3. Если и функция непрерывна в точке , то , или .
Теорема4. Пусть функция непрерывна а функция непрерывна в точке . Тогда сложенная функция непрерывна в точке .