- кручение прямого стержня
1. Постановка задачи.
Рассмотрим моделирование напряженного и деформированного состояния в прямом стержне при кручении, т.е. когда из всех внутренних сил только . Примеры: валы турбореактивного, турбовинтового и турбовентиляторного двигателей.
Сечение по-прежнему будем считать плоским, что справедливо для круглых сечений и приближенно справедливо для некруглых. Для последних в практических расчетах вводят поправочные коэффициенты для вычисления максимальных напряжений и эффективного полярного момента инерции .
Очевидно, что при кручении в сечении возникают касательные напряжения от и угловые деформации от взаимного сдвига сечений.
Итак, параметры задачи – четыре неизвестные функции от координаты сечения:
- крутящий момент (иногда принято обозначать Мz(z)=Мк(z)),
- угол поворота сечения φz(z),
- угловая деформация (z),
- касательное напряжение в сечении ,
появление которых является следствием действующих внешних нагрузок на определенным образом закрепленный стержень. Ограничимся сосредоточенными крутящими моментами и погонными крутящими моментами нагрузками , постоянными по величине на длине их действия. Примеры сосредоточенного момента - крутящий момент от зубчатого колеса, момент от одного ряда лопаток турбины. Примеры распределенного момента - момент от нескольких рядов лопаток. Подробнее смотри в конце лекции.
2. Математическая модель
Необходимо сформулировать четыре (по числу параметров) уравнения связи неизвестных функций от z.
Уравнение равновесия получим, рассмотрев равновесие элемента dz. Получаем
. Откуда
. (*)
Для получения физических зависимостей при кручении вернемся к опыту на растяжение и схематизации напряженного состояния.
В принятых координатах в опыте на растяжение имеем линейное напряженное состояние.
Матрица напряжений в главных осях , т.е.
Рассмотрим площадку, повернутую на угол α относительно оси x. При этом проекции нормали , а проекции полного напряжения (см. в главных осях формулу *** лекция 3)
Соответственно , .
Откуда
. (1)
Рассмотрим возникшие угловую деформацию (сумма углов поворота -составляющих изначально прямого угла)
.
Продольная деформация .
Поперечная деформация .
Спроектируем контур ABLB'A на нормаль n-n к отрезку AB’. Получаем
С учетом малости получаем
.
С учетом выражений для деформаций: ,
.
Для второго отрезка поворотом на 90о получаем
,
,
и, соответственно,
.
Сравнивая последнее выражение с формулой (1) для касательных напряжений, получаем закон Гука при сдвиге -искомое физическое уравнение
,
т.е. (**)
где модуль сдвига
(2)
выражается через коэффициент Пуассона и модуль Юнга.
Теперь, используя гипотезу плоских сечений, рассмотрим кольцевой элемент круглого сечения с текущим радиусом бесконечно малой толщины , длиной dz и площадью dA.
Приравнивая длину дуги BB' из двух треугольников (), получаем с учетом закона Гука . откуда
. (3)
Элементарный крутящий момент ()
и, интегрируя по площади сечения, получаем
.
Для круга .
Откуда
, (***)
Подставляя (3) в (***) получаем касательные напряжения
, (****)
которые линейно распределены по высоте сечения.
Задача фактически сводится к решению системы двух линейных дифференциальных уравнений
(*****)
при соответствующих граничных условиях – математическом описании закрепления концов стержня.
По оставшимся двум формулам можно вычислить напряжения и угловую деформацию и провести расчет на прочность.
Матрица напряжений в принятых осях
дает инварианты НС и, соответственно, главные напряжения - решение характеристического уравнения матрицы ()
Напряженное состояние - " чистый сдвиг ".
Условие прочности по гипотезе касательных напряжений:
.
По энергетической гипотезе
.
Как видно, разница существенна. Больший запас дает первый вариант.
Таким образом, анализ напряженного и деформированного состояний сводится к решению системы (*****).
3. Решение задачи и расчет на прочность.
Сравнивая математические модели кручения и растяжения, видим полную аналогию вплоть до обозначений. Поэтому как аналитическое, так и численное решение для кручения получаем из решения для растяжения заменой соответственно:
.
Согласно (****) максимальные касательные напряжения возникают на поверхности тела. Например, для трубчатого сечения внутренним диаметром d, толщиной стенки t и внешним диаметром D
, где ,
и максимальное касательное напряжение в сечении
где - называют моментом сопротивления при кручении.
В итоге расчет на прочность сводится к проверке условия
по всей длине стержня.
* Сравним расход металла для сплошного (диаметром Dв)и трубчатого валов внешним диаметром Dт и толщиной стенки t. Приравнивая моменты сопротивления (условие равнопрочности) получаем и соотношение площадей сечений . Результаты расчетов иллюстрируются графиком:
Трубчатый вал позволяет экономить вес конструкции по мере уменьшения толщины стенки. Уменьшение последней при поперечном изгибе ограничено касательными напряжениями по Журавскому, а при чистом кручении - устойчивостью формы поперечного сечения.
Для некруглого сечения используют Wk, приводимое в справочниках, которое вычисляется численно или определяется экспериментально.
Например, для прямоугольного сечения высотой и шириной
,
и в справочнике приводится таблица
h/b | 1,5 | ∞ | ||||
α | 0,208 | 0,231 | 0,246 | 0,282 | 0,307 | 0,333 |
β | 0,141 | 0,196 | 0,229 | 0,281 | 0,307 | 0,333 |