Пример 1. При каких значениях параметра, а уравнение 2 cos2x – (2а + 9)cosx + 9а = 0 не имеет корней.
Решение. Пусть у = cosх, тогда исходное уравнение примет вид 2у2 – (2 а + 9)у + 9а = 0, корни которого у1 = а, у2 = 4,5. Уравнение cosх = 4,5 корней не имеет, а уравнение cosх = а не имеет корней, если > 1.
Ответ: (- ; -1) (1; ).
Пример 2. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение не имеет корней.
Решение. Данное уравнение равносильно системе: .
Уравнение не имеет решения в двух случаях: а = и
Ответ: .
Пример 3. При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?
Решение. Решение уравнения может быть единственным только, если х = 0. Если х = 0,то а2 -1 = 0, и а = 1.
Рассмотрим 2 случая:
1) если а = 1, то х2 - = 0 – корней три;
2). Если а = -1, то то х2 + = 0, х = 0 - единственный корень.
Пример 4. При каких значениях параметра а уравнение имеет 2 корня?
Решение. Данное уравнение равносильно системе: . Выясним, когда квадратное уравнение х2 – х – а = 0 имеет 2 неотрицательных корня.
Полученное уравнение имеет два корня, если 1+ 4а > 0; они неотрицательны, если
0 > а > - .
Ответ: (- ; 0].
Решение задач с параметрами может существенно облегчить использование графиков.
Пример. Решите уравнение в зависимости от параметра а: .
Решение. Понятно что при а 0:
.
Все ли корни подходят. Чтобы это выяснить, построим график функции а = .
Количество корней можно увидеть на рисунке:
- если а < 0, то корней нет;
- если а = 0 и а > 0, то 2 корня.
Найдем эти корни.
При а = 0 получим х2 – 2х – 3 = 0 и х1 = -1, х2 = 3; при а > 4 это корни уравнения х2 – 2х – 3 – а = 0.
Если 0< а < 4 – все 4 корня подходят.
Если а = 4 – три корня:
Ответ: 1) если а < 0, то корней нет;
2) если а = 0, то х1 = -1, х2 =3;
3) если 0 < a < 4, то х1,2,3.4 = 1 ;
4) если а = 4, то х1 = 1; х2,3 = 1 ;
5) если а > 4, то х1,2 = 1 .
Решим неравенства
Пример 1
Найти все значения параметра а, при каждом из которых для любого значения х выполняется неравенство
│3sin2x + 2asinx ∙ cosx + cos2x + a│≤ 3,
Решение:
Заданное неравенство эквивалентно системе неравенств
Используя тождество sin2 + cos2 =1, запишем систему в виде
Последняя система имеет решение для любого х, если
Если а = 0, то система также разрешима для любого х.
Ответ:
Пример 2
Найти наибольшее значение параметра b, при котором неравенство
имеет хотя бы одно решение.
Решение:
При b< 0 неравенство не имеет смысла.
При b=0 неравенство верно при всех допустимых значениях х
Рассмотрим случай b >0.
Умножим обе части неравенства на -1, получим
Так как b >0, разделим обе части неравенства на b
Заметим, что выражение в правой части принимает значения от 0 до .
Оценим выражение в левой части неравенства.
Пусть , (х-4)2 = а. Рассмотрим функцию f(a) = , a ≠ 0
f '(a) = . Найдем точки, в которых производная равна 0.
= 0
a =
Следовательно, a = является точкой минимума функции.
f() = = 2t.
Так как, выражение в правой части принимает значения от 0 до , то исходное неравенство имеет хотя бы одно решение при 0 < 2t ≤ , а наибольшее значение выражение 2t принимает в случае равенства .
2t = t =
Так как , b = .
Ответ:
Тестовый контроль
1 вариант | 2 вариант |
1) Решите уравнение: 0 · х = а Ответы: а) при а ≠ 0, х = 1, при а = 0, х R б) при а = 0, х R, при а ≠ 0 корней нет в) при а = 0 нет корней, при а ≠ х = | 1) Решить уравнение: а х = а. Ответы: а) при а ≠ 0, х = 1, при а = 0, х R б) при а = 0, х R, при а ≠ 0 корней нет в) при а = 0 нет корней, при а ≠ х = |
2) Решит уравнение: (в – 2)·х = 5 + в. Ответы: а) при в = 2 нет корней; при в ≠2, х = ; б) при в = -2 нет корней, при в ≠-2 х = в) при в = -1 нет корней, при а ≠ - 1 | 2) Решите уравнение (в + 1)·х = 3 – в. Ответы: а) при в = 2 нет корней; при в ≠2, х = ; б) при в = -2 нет корней, при в ≠-2 х = в) при в = -1 нет корней, при а ≠ - 1 |
3) При каких значениях параметра с уравнение имеет бесконечное множество решений? с·(с + 1)·х = с2 – 1. Ответ: а) при с = -1, х R, б) при с = 2, х R, в) при с = - 1, х R, | 3) При каких значениях параметра с уравнение имеет бесконечное множество решений? (с2 – 4)·х = (с – 2)·(с+ 1). Ответ: а) при с = -1, х R, б) при с = 2, х R, в) при с = - 1, х R, |
4) При каких значениях параметра m уравнения не имеет решений? . Ответы: а) при m = 6 нет корней; б) при m = 7 нет корней; в) при m = 8 нет корней. | 4) При каких значениях параметра m уравнения не имеет решений? . Ответы: а) при m = 6 нет корней; б) при m = 7 нет корней; в) при m = 8 нет корней. |
5) Решить уравнение . Ответы: а) при а = 0 нет корней, при а ≠ 0 х = ; б) при а = 0 нет корней, при а ≠ 0 х = ; в) при а = 0 нет корней, а ≠ 0 х = - 2а. | 5) Решить уравнение . Ответы: а) при а = 0 нет корней, при а ≠ 0 х = ; б) при а = 0 нет корней, при а ≠ 0 х = ; в) при а = 0 нет корней, а ≠ 0 х = - 2а. |
6) При каких значениях параметра n уравнение имеет один корень? nх2 + 4х + (5 – n) = 0. Ответы: а) при n = 0 х =1, при n = 2 х = 2, при n =2 х = ; б) при n = 0 х = - , при n = 1 х = 2, при n = - 4 х = ; в) при n= 0 х = - , при n = 1 х = - 2, при n =4 х = - . | 6) При каких значениях параметра n уравнение имеет один корень? nх2 + 4х + (3 + n) = 0. Ответы: а) при n = 0 х =1, при n = 2 х = 2, при n =2 х = ; б) при n = 0 х = - , при n = 1 х = 2, при n = - 4 х = ; в) при n= 0 х = - , при n = 1 х = - 2, при n =4 х = - . |