Глава 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра
Пункт 1. Понятие интеграла, зависящего от параметра
Для того чтобы дать определение интеграла, зависящего от параметра, введем функцию . Пусть эта функция будет определена на некотором множестве , где и , то есть в результате получится множество . Если функция непрерывна в D, то тогда имеет смысл интеграл , где x принадлежит некоторому конечному или бесконечному промежутку , значит, интеграл может быть несобственным.
На основании этого можно дать определение интеграла, зависящего от параметра.
Определение.
Интеграл называется интегралом, зависящим от параметра, если интегрируема на промежутке при любом фиксированным , где .
Следовательно, представляет собой функцию переменной (параметра) , определенную в промежутке . Возможно также существование интеграла при фиксированном , тогда он будет представлять собой функцию переменной (параметра) , определенную в промежутке . Обозначается она так , так что .
Основная задача будет состоять в том, чтобы, зная свойства функции , получить информацию о свойствах функции . Эти свойства имеют многообразные применения, особенно при вычислении несобственных интегралов.
Пример. Найти интеграл от функции ,
Функция непрерывна на отрезке при любом фиксированном , а значит, она интегрируема. Тогда
.
Пункт 2. Предельный переход под знаком интеграла. Непрерывность интеграла как функции параметра
Определение.
Пусть - это предельная точка множества .Функция называется равномерно сходящейся к функции при по переменной , если выполняются следующие условия:
1. для при существует конечная предельная функция ;
2. . (1)
Замечание 1.
В цепочки (1) зависит только от и не зависит от , а неравенство выполняется при любых одновременно.
Замечание 2.
Если , то в цепочке (1) неравенство следует заменить на ().
Теорема 1 (признак сходимости). Если функция определена на множестве , то для того, чтобы она имела предельную функцию и сходилась к ней равномерно необходимо и достаточно, чтобы выполнялась цепочка
Докажем теорема так.
Необходимость. Пусть функция равномерно сходится. Если заменим в определении на и выберем соответственно , а затем возьмем два значения и из так, чтобы выполнялись условия и . В результате получим и откуда следует последнее неравенство в цепочке .
Достаточность. Теперь пусть существует предельная функция . Нужно доказать равномерную сходимость функции к предельной функции. Для этого совершим переход к пределу в неравенстве при , получается . Что и подтверждает равномерную сходимость к функции .
Теорема 2 (о непрерывности предельной функции). Если функция при любом фиксированном непрерывна на и равномерно сходится к предельной функции по переменной при , то функция также непрерывна на .
Легко обобщается теорема Дини: если функция непрерывна для любого фиксированного на и при возрастании функция, монотонно возрастая, стремится к предельной функции , то сходится к равномерно.
Теорема 3 (предельный переход по параметру под знаком интеграла). Если функция непрерывна при постоянном значении на и сходится равномерно по переменной к предельной функции при , то тогда имеет место равенство
(2)
Доказательство.
Непрерывность следует из теоремы 2, значит, она интегрируема на отрезке . В силу равномерной сходимости к выполняется . Тогда при тех же и имеем:
откуда следует , что доказывает формулу (2).
Замечание 3.
Равенство (2) можно записать и в другом виде
. (2`)
Следствие 1.
Если функция при постоянном непрерывна по и при возрастании стремится, монотонно возрастая, к непрерывной предельной функции , то справедливы формулы (2) и (2`).
В предположении, что область представляет собой конечный промежуток , рассмотрим вопрос о непрерывности функции .
Пример (№3713 (в)). Найти .
1. функция непрерывная функция на . Функции и также непрерывны на .
2. непрерывная функция (т.4 и сл.2) в промежутке , значит
3. .
Теорема 4 (о непрерывности интеграла как функции параметра). Пусть функция определена и непрерывна в прямоугольнике , тогда интеграл будет непрерывной функцией от параметра в промежутке .
Доказательство.
Так как непрерывна на замкнутом множестве, то по теореме Кантора она равномерно непрерывна на данном прямоугольнике . Возьмем любое и зафиксируем . Тогда нашему значению будет соответствовать , такое, что для любых двух точек , принадлежащих , из неравенств и , будет следовать . Положим , , где , - любые из , и , где . Тогда получим
. Это означает, что функция равномерно стремится к . В таком случае по теореме 3 , а уже отсюда следует равенство , то есть наша функция непрерывна на .
Замечание 4. Совершенно аналогично доказывается теорема для , где .
Следствие 2. Если непрерывна на прямоугольнике , то .
Пример. Найти .
1. непрерывна на
2. тогда по теореме 4. и следствию 2 получаем