ЕН.01 Математика группа С-21 12.10.2020
Инструкция по выполнению:
1) В тетради на первой строке написать своё ФИО и группу, на полях записать дату занятия.
2) На второй строке написать тему занятия.
3) Записать в тетрадь весь представленный теоретический материал строго по пунктам.
4) Разобрать по учебнику решение № 1(2) из главы 8 параграфа 1 (стр.105). Это на первое свойство – монотонность.
5) Разобрать по учебнику решение № 13(2) из главы 8 параграфа 2 (стр.108). Это на второе свойство – точки экстремума.
6) Разобрать по учебнику решение № 53(2) из главы 8 параграфа 6 (стр.114). Это на третье свойство – выпуклость графика функции.
7) Разобрать по учебнику решение № 57(1) из главы 8 параграфа 7 (стр.115). Это точки перегиба.
8) Записи лекции не присылать. Данный материал нужен будет для следующей темы и для сдачи экзамена.
9) Записи в тетради выполняются аккуратно и разборчиво.
Справочная литература:
1. Богомолов Н. В., Самойленко П. И. Практические занятия по математике: учеб. пособие для средних проф. учебных заведений. – М.: Высшая школа, 2010. – 495 с.
Ссылка на электронную версию учебника: https://uch-lit.ru/izbrannoe/bogomolov-n-v-prakticheskie-zanyatiya-po-matematike-uchebnoe-posobie-dlya-uchashhihsya-kolledzhey-onlayn
Тема: Исследование свойств функции с помощью производной
- Монотонность функции: возрастание и убывание функции.
Монотонность функции характеризуется знаком её первой производной.
Функция на промежутке называется возрастающей, если в этом промежутке производная функции положительная (имеет знак плюс), т.е.
Функция на промежутке называется убывающей, если в этом промежутке производная функции отрицательная (имеет знак минус), т.е.
Критические точки это точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв, т.е.
- Экстремумы функции: точки максимума и минимума.
Точка является точкой максимума, если при переходе через критическую точку производная функции меняет знак с «+» на «-».
Точка является точкой минимума, если при переходе через критическую точку производная функции меняет знак с «-» на «+».
Если при переходе через критическую точку производная не меняет знака, то функция не имеет экстремума.
Правило нахождения промежутков монотонности и точек экстремума:
1. Найти производную данной функции.
2. Найти критические точки (решить уравнение).
3. Найденные точки отметить на оси ОХ и найти знаки производной функции в промежутках.
4. По знакам производной сделать выводы о монотонности графика функции и точках экстремума.
5. Вычислить значение функции в точках экстремума и записать координаты полученных точек.
- Выпуклость графика функции: выпуклость вверх и выпуклость вниз (вогнутость).
Выпуклость графика функции характеризуется знаком её второй производной.
Функция на промежутке выпукла вверх, если в этом промежутке вторая производная функции отрицательная (имеет знак минус), т.е.
Функция на промежутке выпукла вниз, если в этом промежутке вторая производная функции положительная (имеет знак плюс), т.е. .
- Точки перегиба графика функции.
Точкой перегиба называется точка графика функции , разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика.
Точками перегиба могут служить только критические точки, принадлежащие области определения функции , в которых вторая производная обращается в нуль или терпит разрыв, т.е. .
Правило нахождения промежутков выпуклости:
- Найти вторую производную данной функции.
- Найти точки, в которых вторая производная равна нулю (решить уравнение).
- Найденные точки отметить на оси ОХ и найти знаки второй производной функции в промежутках.
- По знакам производной сделать выводы о направлениях выпуклости графика функции и точках перегиба.