Решение типовых примеров
1 Проверить, является ли дифференцируемой функция а) ; б) .
Решение. а) Функция непрерывна на всей комплексной плоскости . Она может быть представлена в виде . Тогда при любом имеем .
Приращение может стремиться к нулю по любому направлению. Выбирая для два различных направления, получим два различных значения отношения:
– если , , то ;
– если , , то .
Следовательно, предел не существует. Функция непрерывная на всей комплексной плоскости не имеет производной ни в одной точке плоскости.
б) Пусть . Тогда . Следовательно, , . Условия Коши-Римана , выполняются в любой точке . Значит, функция дифференцируема на всей комплексной плоскости. Тогда
.
2 Найти аналитическую функцию , если при условии .
Решение. Частные производные первого и второго порядков функции равны:
, ; , .
Функция является гармонической на всей комплексной плоскости , так как
.
Согласно теореме 4, существует функция , сопряженная к . Проинтегрируем 1-е условие Коши-Римана по переменной :
.
Дифференцируя последнее равенство по переменной и подставляя во 2-е условие Коши-Римана , получим .
Отсюда . Интегрируя по , получим , .Тогда аналитическая функция имеет вид
.
Из условия находим постоянную : . Искомая функция примет вид
== .
3 Найти коэффициент растяжения и угол поворота при отображении в точке .
Решение. Имеем . Тогда
.
Так как , ,
то при отображении происходит растяжение с коэффициентом, равным 4, и поворот против часовой стрелки на угол, равный .
ИЗ - 3 Интегрирование функции комплексной переменной
1 Вычислить интегралы (в интегралах по замкнутому контуру контур обходит против часовой стрелки).
1.1 | а) | б) . |
1.2 | а) | б) . |
1.3 | а) | б) . |
1.4 | а) | б) . |
1.5 | а) | б) . |
1.6 | а) | б) . |
1.7 | а) | б) . |
1.8 | а) | б) |
1.9 | а) | б) . |
1.10 | а) | б) . |
1.11 | а) | б) . |
1.12 | а) | б) . |
1.13 | а) | б) . |
1.14 | а) | б) . |
2 Вычислить интегралы по замкнутому контуру с помощью интегральной формулы Коши (контур обходится против часовой стрелки), сделать чертеж.
2.1 | а) | б) | в) |
2.2 | а) | б) | в) |
2.3 | а) | б) | в) |
2.4 | а) | б) | в) |
2.5 | а) | б) | в) |
2.6 | а) | б) | в) |
2.7 | а) | б) | в) |
2.8 | а) | б) | в) |
2.9 | а) | б) | в) |
2.10 | а) | б) . | в) |
2.11 | а) | б) | в) |
2.12 | а) | б) | в) |
2.13 | а) | б) | в) |
2.14 | а) | б) | в) |
2.15 | а) | б) | в) |
Решение типовых примеров
1 Вычислить интегралы
а) ; б) при ; в) .
Решение. а) по формуле Ньютона-Лейбница имеем:
;
б) параметрические уравнения окружности с центром в точке имеют вид:
Отсюда комплексно-параметрическое уравнение окружности есть
, .
Тогда по теореме 1 получим:
;
в) имеем:
.
2 Вычислить , где – отрезок прямой , соединяющий точки и .
Решение. 1 способ. Так как контур интегрирования – прямая , сделаем замену . Тогда
, ,
где является постоянным и .
Таким образом,
, , ; .
В точке имеем , а в точке получим:
.
Тогда получим:
.
2 способ. Выделим действительную и мнимую части исходной функции:
.
Отсюда
;
.
Тогда получим
.
3 Вычислить , где – часть окружности , расположенная в верхней полуплоскости.
Решение. Положим . Так как , то и . Тогда и по условию.
Тогда по теореме 1 получим
.
4 Вычислить , где – отрезок прямой , соединяющей точки и
Решение. Параметрические уравнения контура есть , или , где действительное изменяется от 0 до . Тогда по теореме 1 получим
.
5 Вычислить .
Решение. Функция аналитична всюду на . Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем
.
6 Вычислить интеграл , если есть окружность, определяемая уравнением:
а) ; б) ; в) .
Решение. Особыми точками функции будут точки, обращающие в нуль знаменатель, т. е. . Решая уравнение, получим две особые точки , .
а) внутри области , ограниченной окружностью , нет особых точек функции , т. е. аналитична в области . В силу теоремы Коши (практическое занятие 3) имеем
;
б) внутри области, ограниченной окружностью , лежит точка . По интегральной формуле Коши имеем:
;
в) в области, ограниченной окружностью , лежат обе особые точки: и . Непосредственно применять интегральную формулу Коши нельзя. Вычислить данный интеграл можно двумя способами.
1 способ Разложим дробь на простейшие:
.
Подставляя в интеграл и применяя интегральную формулу Коши, получим:
.
2 способ Построим окружности и с центрами в точках и малых радиусов таких, чтобы окружности не пересекались и целиком лежали в круге . В трехсвязной области, ограниченной окружностями , и подынтегральная функция аналитична всюду. По теореме Коши для многосвязной области (практическое занятие 3) имеем
.
7 Пользуясь интегральной формулой Коши, вычислить интеграл , где окружность обходится в положительном направлении.
Решение. Внутри области, ограниченной окружностью , находится точка , в которой знаменатель функции обращается в нуль.
Перепишем заданный интеграл так
.
Функция является аналитической в круге . Применяя интегральную формулу Коши в точке получим
.
8 Вычислить интегралы
а) ; б) .
Решение. а) особые точки функции , . В области лежит точка .
Преобразуем подынтегральную функцию:
.
Тогда по следствию 2 теоремы 4 получим
;
б) подынтегральная функция является аналитической в области всюду, кроме точки . Функция является всюду аналитической в круге . При по следствию 2 теоремы 4 имеем
.
Так как и , то .
Индивидуальное задание 4 Вычеты
1 Разложить функции в ряд Лорана в окрестности изолированных особых точек и определить область сходимости полученного ряда.
1.1 | а) ; | б) |
1.2 | а) ; | б) |
1.3 | а) ; | б) |
1.4 | а) ; | б) |
1.5 | а) ; | б) |
1.6 | а) ; | б) |
1.7 | а) ; | б) |
1.8 | а) ; | б) |
1.9 | а) ; | б) |
1.10 | а) ; | б) |
1.11 | а) ; | б) |
1.12 | а) ; | б) |
1.13 | а) | б) |
1.14 | а) ; | б) |
1.15 | а) ; | б) |
2 Определить характер особых точек функции на расширенной комплексной плоскости и найти вычеты в этих точках.
2.1 | а) ; | б) . |
2.2 | а) ; | б) . |
2.3 | а) ; | б) . |
2.4 | а) ; | б) . |
2.5 | а) ; | б) . |
2.6 | а) ; | б) . |
2.7 | а) ; | б) . |
2.8 | а) ; | б) . |
2.9 | а) ; | б) . |
2.10 | а) ; | б) . |
2.11 | а) ; | б) . |
2.12 | а) ; | б) . |
2.13 | а) ; | б) . |
2.14 | а) ; | б) . |
2.15 | а) ; | б) . |
Решение типовых примеров:
1 Разложить функцию в ряд Лорана в окрестности особой точки
Решение. Используя основное разложение функции в ряд Маклорена, получим
.
Функция является аналитической в кольце .
2 Разложить в ряд Лорана функцию
а) в круге ; б) в кольце ; в) в области .
Решение. Функция имеет две особые точки , . Представим функцию в виде
а) разложение в круге :
.
Ряд для первой функции сходится при условии , т. е. в области , для второй – в области , поэтому ряд для функции сходится в круге ;
б) разложение в кольце :
.
Ряд для первой функции сходится, если , т. е. при , для второй функции, если , т. е. если , а ряд для функции сходится в кольце ;
в) разложение для :
.
Ряд для первой функции сходится в области , т. е. при , для второй, если , т. е. если , поэтому ряд для функции сходится в области .
3 Разложить функцию в ряд Лорана в окрестности ее особых точек .
Решение. Преобразуем функцию:
.
Разложение в окрестности точки по степеням до ближайшей особой точки (в кольце ) есть:
.
Разложение в окрестности точки по степеням , справедливо в кольце :
.
4 Какую особенность в точке имеет функция ?
Решение. 1 способ Точка является устранимой особой точкой, так как предел в этой точке равен
.
2 способ В окрестности точки разложение в ряд Лорана имеет вид:
= .
Видно, что ряд Лорана в точке не содержит членов с отрицательными степенями, т. е. не содержит главной части. Согласно теореме 3 точка является устранимой особой точкой для функции .
5 Какую особенность в точке имеет функция ?
Решение. 1 способ Имеем:
– если вдоль положительной части действительной оси, то ;
– если вдоль отрицательной части действительной оси, то .
Следовательно, данная функция не имеет предела в точке .
2 способ Разложение в ряд Лорана функции в окрестности точки имеет вид:
.
Видно, что главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число членов. Согласно теореме 5 точка является существенно особой точкой.
6 Определить какую особенность в бесконечно удаленной точке имеет функция .
Решение. Произведем замену переменной на переменную по формуле . Тогда данная функция принимает следующий вид . При условии имеет место разложение:
.
Возвращаясь к переменной , имеем:
, .
Видно, что ряд Лорана не содержит правильную часть. Следовательно, точка является устранимо особой точкой.
7 Найти особые точки и определить их характер для функции .
Решение. Особая точка функции есть .
1 способ. Вычислим предел
Значит, является устранимой особой точкой функции.
2 способ. Разложение в ряд Лорана в окрестности точки имеет вид:
.
Ряд Лорана не содержит главной части, значит по теореме 3 точка есть устранимая особая точка данной функции.
8 Найти особые точки и определить их характер для функции .
Решение. Найдем особые точки функции из условия: .
Решая уравнение, получим две особые точки ; .
Найдем предел в точке :
Согласно определению, точка – полюс. Чтобы определить его порядок, представим функцию в виде:
,
где – аналитична в точке и .
Отсюда по теореме 2 точка – полюс 2-го порядка функции .
Аналогично точка – полюс, поскольку
.
Так как , где – аналитична в точке и , то точка – простой полюс функции
9 Найти особые точки и определить их характер для функции
Решение. Особая точка функции . Так как
, то точка – полюс.
Для функции точка – нуль третьего порядка, значит, для функции – полюс 3-го порядка.
10 Определить характер особой точки для функции .
Решение. 1 способ Рассмотрим поведение функции на действительной и мнимой осях.
Пусть и при . Пусть и при .
Отсюда следует, что функция не имеет ни конечного, ни бесконечного предела в точке и – существенно особая точка функции
2 способ Разложим функцию в ряд Лорана в окрестности точки , т. е. в области :
Главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число слагаемых, поэтому точка является существенно особой точкой функции
| Поделиться: |
Поиск по сайту
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-11-19 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных