Последовательное и параллельное соединение проводников

Постоянный ток

Практикум по решению задач

Омск-2006

Составители: Прокудина Н.А., Нижникова В.О., Павловская О.Ю., Брижанский Л.В.

 

Практикум по решению задач предназначен для проведения практических занятий по теме «Постоянный ток». Рекомендуется для студентов технических специальностей ОмГТУ.

 

 

Печатается по решению редакционно-издательского совета Омского государственного технического университета

 

 

Тема 1. Законы Ома. Основные понятия. Расчет электрических цепей

 

Электрический ток

Электрический ток - это упорядоченное движение заряженных частиц (ток проводимости) или заряженных макроскопических тел (конвекционный ток).

За направление электрического тока принято направление движения положительных зарядов, образующих этот ток.

Количественной мерой электрического тока служит сила тока – скалярная физическая величина I, равная отношению заряда dq, переносимого через некоторую поверхность за малый промежуток времени, к длительности dt этого промежутка (в случае тока проводимости в качестве поверхности, через которую происходит перенос зарядов, обычно выбирают поперечное сечение проводника):

. (1.1)

Если направление и сила тока не изменяются с течением времени, то ток называется постоянным. Для постоянного тока

. (1.2)

В Международной системе единиц СИ сила тока измеряется в амперах (А).

Для характеристики направления электрического тока в разных точках рассматриваемой поверхности и распределения силы тока по этой поверхности вводится вектор плотности тока.

Плотность электрического тока проводимости - это вектор j, совпадающий с направлением электрического тока в рассматриваемой точке и численно равный отношению силы тока dI сквозь малый элемент поверхности, ортогональной направлению тока, к площади этого элемента dS_^:

. (1.3)

Из (1.3) следует, что сила тока через произвольную поверхность S равна потоку через эту поверхность вектора плотности тока:

. (1.4)

Электрический ток в металлах возникает под действием электрического поля, которое вызывает упорядоченное движение электронов проводимости. Плотность тока

, (1.5)

где e – элементарный заряд, n – концентрация электронов проводимости, - средняя скорость упорядоченного движения.

 

Законы Ома

Постоянный электрический ток может быть создан только в замкнутой цепи, в которой свободные носители заряда циркулируют по замкнутым траекториям. Электрическое поле в разных точках такой цепи неизменно во времени. Для существования постоянного тока в электрической цепи необходимо наличие устройства, способного создавать и поддерживать разность потенциалов на участках цепи за счет работы сил неэлектростатического происхождения. Такие устройства называются источниками постоянного тока. Силы неэлектростатического происхождения, действующие на свободные носители заряда со стороны источников тока, называются сторонними силами. Под действием сторонних сил электрические заряды движутся внутри источника тока против сил электростатического поля, благодаря чему в замкнутой цепи может поддерживаться постоянный электрический ток.

При перемещении электрических зарядов по цепи постоянного тока сторонние силы, действующие внутри источников тока, совершают работу.

Физическая величина, равная отношению работы A _ст сторонних сил при перемещении заряда q от отрицательного полюса источника тока к положительному к величине этого заряда, называется электродвижущей силой источника (ЭДС) e:

. ( 1.6)

Электродвижущая сила, как и разность потенциалов, измеряется в вольтах (В).

Цепь постоянного тока можно разбить на определенные участки. Те участки, на которых не действуют сторонние силы (т. е. участки, не содержащие источников тока), называются однородными ( рис. 1 ). Участки, включающие источники тока, называются неоднородными ( рис. 2 ).

 

 

 

 

При перемещении положительного заряда по некоторому участку цепи работу совершают как электростатические (кулоновские), так и сторонние силы. При этом величина, равная отношению суммарной работы сторонних А_СТ и электростатических А_ЭЛ сил при перемещении заряда между начальной и конечной точками участка к величине этого заряда, называется напряжением на данном участке U₁₂

. (1.7)

В случае однородного участка напряжение равно разности потенциалов:

. (1.8)

Немецкий физик Г. Ом в 1826 г. экспериментально установил, что сила тока I, текущего по однородному металлическому проводнику, пропорциональна напряжению U на концах проводника:

, (1.9)

где R - сопротивление проводника. В СИ единицей электрического сопротивления проводников служит ом (Ом). Для однородного проводника длиной l и постоянного сечения S

, (1.10)

где r - удельное сопротивление материала, из которого изготовлен проводник.

Сопротивление проводника зависит от температуры:

, (1.11)

где R₀ – сопротивление при температуре 0 ^оС, α – температурный коэффициент сопротивления, t – температура проводника, ^оС.

Для неоднородного участка цепи закон Ома записывается в виде (обобщенный закон Ома)

, (1.12)

где r - внутреннее сопротивление источника тока.

ЭДС считается положительной, если она повышает потенциал в направлении тока.

В дифференциальной форме обобщенный закон Ома запишется в виде

, (1.13)

где σ – удельная проводимость среды , – напряженность электрического поля, – напряженность поля сторонних сил.

Закон Ома для полной цепи (рис. 3) имеет вид

. (1.14)

Если точки a и b замкнуть проводником, сопротивление которого мало по сравнению с внутренним сопротивлением источника (R << r), тогда в цепи потечет ток короткого замыкания

Рис. 3

(1.15)

Сила тока короткого замыкания – максимальная сила тока, которую можно получить от данного источника с электродвижущей силой e и внутренним сопротивлением r.

 

Последовательное и параллельное соединение проводников

Проводники в электрических цепях могут соединяться последовательно и параллельно.

При последовательном соединении проводников (рис. 4) сила тока во всех проводниках одинакова:

.

Рис. 4

 

Общее напряжение U на проводниках равно сумме напряжений на каждом проводнике:

.

При последовательном соединении полное сопротивление цепи равно сумме сопротивлений отдельных проводников:

. (1.16)

Этот результат справедлив для любого числа последовательно соединенных проводников.

При параллельном соединении (рис. 5) напряжения на всех проводниках одинаковы:

U ₁ = U ₂ =…= U_n = U.

Сумма токов, протекающих по проводникам, равна току в неразветвленной цепи:

I = I ₁ + I ₂ +…+ I_n.

При параллельном соединении проводников величина, обратная общему сопротивлению цепи, равна сумме величин, обратных сопротивлениям параллельно включенных проводников:

. (1.17)

Этот результат справедлив для любого числа параллельно включенных проводников.

Правила Кирхгофа

Расчет электрической цепи (рис. 6) состоит в вычислении токов на любом участке цепи по заданным сопротивлениям участков цепи и приложенным к ним ЭДС. Узлом цепи называется точка, в которой сходится более двух проводников, например, точка А на рис. 6. Для расчета цепи применяют два правила Кирхгофа.

Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

 

. (1.18)

 

Токи, входящие в узел, считаются положительными, а выходящие из него – отрицательными.

Второе правило Кирхгофа: в любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в цепи, алгебраическая сумма падений напряжения (на отдельных участках цепи {контура}) равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в контур:

 

. (1.19)

 

Для применения второго правила Кирхгофа выбирается определенное направление обхода контура (по часовой стрелке или против нее).

Положительными считаются токи, направления которых совпадают с направлением обхода контура. ЭДС источников тока считаются положительными, если они создают токи, направления которых совпадают с направлением обхода контура.

 

 

Примеры решения задач

Задача 1. Сила тока в проводнике изменяется за время от t₁ = 3 c до t₂ = 7 с по закону I = At² + B, где А = 0,1 А/с², В = 2 А. Определить заряд, прошедший по проводнику.

q –?	Решение: Сила тока , отсюда . Полный заряд, прошедший по проводнику за время от t1 = 3 c до t2 = 7 с:   .   Произведем вычисления:   Ответ: q = 18,5 Кл.
I = At2 + B А = 0,1 А/с2 В = 2 А t1 = 3 c t2 = 7 с

 

 

Задача 2. Определить плотность тока, если за t = 2 c через проводник сечением S = 1,6 мм² прошло N = 2·10¹⁹ электронов.

 

J –?	Решение: Плотность тока определяется по формуле . Сила тока
t = 2 c S = 1,6 мм2 N = 2·1019 е = 1,6·10–19 Кл

отсюда получаем

Произведем вычисления:

 

.

 

Ответ: j = 10⁴ А/м².

Задача 3. По медному проводнику сечением S = 0,8 мм² течет ток I = 80 мА. Найти среднюю скорость упорядоченного движения электронов <V> проводника, предполагая, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон. Молярная масса меди μ = 63,5 г/моль.

 

<V> –?	Решение: Плотность тока может быть определена по формуле , (1) с другой стороны, плотность тока связана со скоростью упорядоченного движения электронов формулой . (2) Приравнивая эти выражения, получим . откуда (3)
S = 0,8 мм2 = 0,8·10–6 м2 ρ = 8,9 = 8,9·103 кг/м3 μ = 63,5·10–3 кг/моль

 

Найдем концентрацию свободных электронов n. Плотность меди может быть определена по формуле

, (4)

где V₀ = 1 м³, m_а – масса атома меди

, (5)

где N_A – число Авогадро.

С учетом (5) формула (4) запишется в виде

,

откуда

. (6)

Подставим (6) в формулу (3), получим

.

Ответ: ρ = 7,4·10^-6 м/с.

 

Задача 4. В цепи (рис. 7) амперметр показывает силу тока I = 1,5 А. Сила тока I₁ через сопротивление R₁ равна 0,5 А. Сопротивление R₂ = 2 Ом, R₃ = 3 Ом. Определить сопротивление R₁, а также силу токов I₂ и I₃, протекающих через сопротивление R₂ и R₃.

 

R1 –? I2 –? I3 –?	Решение:   Рис. 8.   Для узла О запишем первое правило Кирхгофа: I1+ I2+ I3 = I. (1)
I = 1,5 А I1 =0,5 А R2 = 2 Ом R3 = 3 Ом

Сопротивления R₁, R₂ и R₃ соединены параллельно, поэтому напряжения на них одинаковы:

I₁R₁ = I₂R₂, (2)

I₂R = I₃R₃. (3)

Решим систему уравнений (1) – (3) относительно I₂, I₃ и R₁.

Из (1) выражаем I₂:

I₂ = I – I₁ – I₃ (4)

и подставляем в (3)

(I – I₁ – I₃)R₂ = I₃R₃. (5)

Из уравнения (5) находим I₃:

Из уравнения (4) вычисляем I₂:

I₂ = 1,5 – 0,5 – 0,25 = 0,75A.

Из уравнения (2) находим R₁:

 

Ответ: I₂ = 0,75 А, I₃ = 0,25 А, R₁ = 3 Ом.

 

Задача 5. Когда к источнику тока подключили резистор сопротивлением R₁ = 5 Ом, то сила тока стала I₁ = 1 А, а когда подключили резистор сопротивлением R₂ = 15 Ом, то I₂ = 0,5 А. Определить ЭДС источника тока, его внутреннее сопротивление и ток короткого замыкания.

 

ε –? r –? Iкз –?	Решение: Дважды запишем закон Ома для полной цепи: (1) Решаем систему относительно r и ε:
R1 = 5 Ом R2 = 15 Ом I1 = 1А I2 = 0,5 А

(2)

 

.

Отсюда получаем

.

Зная величину внутреннего сопротивления r, найдем ЭДС источника тока, используя, например, первое уравнение системы (2):

 

.

Ток короткого замыкания

Ответ: ε = 10 В, r = 5 Ом, I_кз = 2 А.

 

Задача 6. В схеме (рис. 9): R₂ = 3 Ом, R₁ = R₃ = 6 Ом, R₄ = 4 Ом, U = 12 В. Найти показание амперметра.

 

 

Рис. 9

I –?	Решение: Найдем общее сопротивление цепи. Сопротивления R2 и R3 соединены параллельно, их можно заменить сопротивлением R23: .
R2 = 3 Ом R1 = R3 = 6 Ом R4 = 4Ом U = 12 В

.

Последовательное соединение R₂₃ и R₄ заменяем сопротивлением R₂₃₄:

R₂₃₄ = R₂₃ + R₄;

R₂₃₄ = 2+4 = 6 Ом.

Оставшееся параллельное соединение R₁ и R₂₃₄ можно заменить сопротивлением R₁₂₃₄:

;

;

.

Теперь схема приняла вид

 

 

Рис. 10

Ток через амперметр

; .

Ответ: I = 4 А.

Задача 7. В схеме, изображенной на рис. 11, ε₁ = 1 В, ε₂ = 1,3 В, r₁ = 3 Ом, r₂ = 5 Ом и R = 7 Ом. Найти разность потенциалов между точками А и В, В и С, С и А.

 

 

 

Рис. 11

 

φА – φВ –? φВ – φС –? φС – φА –?	Решение: Так как источники подключены последовательно одноименными полюсами, то по закону Ома для полной цепи , . Разность потенциалов:
ε1 = 1 В ε2 = 1,3 В r1 = 3 Ом r2 = 5 Ом R = 7 Ом

Ответ: φ_А − φ_В = - 0,14 В; φ_В − φ_С = 1,2 В; φ_С − φ_А = - 1,06 В.

Задача 8. Определить сопротивление мотка стальной проволоки диаметром d = 1 мм. Масса проволоки 300 г.

 

R –?	Решение: Сопротивление проволоки , (1) где S - площадь поперечного сечения;
d = 1 мм = 0,001 м ρ1 = 1,5·10–8 Ом·м ρ2 = 7,8·103 кг/м3 m = 300 г = 0,3 кг

. (2)

Объем проволоки равен объему цилиндра с основанием S и высотой l

V=S·l. (3)

Масса проволоки

m=V·ρ₂=S·l ρ₂, (4)

отсюда

. (5)

Тогда ;

.

Ответ: R = 9,4 Ом.

 

Задача 9. Вольфрамовая нить электрической лампы при температуре t₁ = 2000 ^oC имеет сопротивление R₁ = 204 Ом. Определить ее сопротивление при температуре t₂ = 20 ^oC. Температурный коэффициент сопротивления вольфрама α = 4,6·10^–3 К^–1.

R2 –?	Решение: Учитывая зависимость сопротивления R от температуры t, запишем систему уравнения для двух температур R1 = R0(1 – αt1); (1) R2 = R0(1 – αt2). (2)
R1 = 204 Ом t1 = 2000 oC t2 = 20 oC α = 4,6·10–3 К–1

Поделим одно уравнение на другое:

откуда

;

.

Ответ: R₂ = 20 Ом.

 

Задача 10. На концах медного провода длиной l = 5 м поддерживается напряжение U = 1 В. Определить плотность тока в проводе.

 

j –?	Решение: Закон Ома в дифференциальной форме для однородного участка цепи . Напряженность электрического поля в проводе ,
l = 5 м U = 1 В ρ=1,7·10–8 Ом·м

где U – напряжение, поддерживаемое на концах проводника; l – длина провода.

Проводимость

,

тогда ;

.

 

Ответ: j = 1,18·10⁷ А/м².

Задача 11. В цепи, изображенной на рис. 12, найти токи через сопротивления R₁ = 2 Ом, R₂ = 4 Ом, R₃ = 2 Ом. ЭДС источников тока равны соответственно ε₁ = 1 В, ε₂ = 3 В, ε₃ = 5 В. Внутренними сопротивлениями источников пренебречь.

 

 

Рис. 12.

I1 –? I2 –? I3 –?

Решение: Для решения задачи используем правила Кирхгофа. 1. Возле каждого сопротивления указываем величину и направление тока (направление выбираем произвольно); 2. Запишем первое правило Кирхгофа для узла А I1 +I2 + I3 = 0; (1) 3. Цепь состоит из двух контуров, обозначенных а и б. Для контура а второе правило Кирхгофа при выбранном направлении обхода по часовой стрелке имеет вид I1R1 – I2R2 = –ε1 – ε2. (2)

R1 = 2 Ом R2 = 4 Ом R3 = 2 Ом ε1 = 1 В ε2 = 3 В ε3 = 5 В

Для контура б с тем же направлением обхода

I₂R₂ – I₃R₃ = ε₂ + ε₃. (3)

Решаем систему уравнений (1) – (3) методом исключения неизвестных. Из уравнения (1) получаем

I₁ = – (I₂ + I₃). (4)

Подставляя (4) в (2), получаем

(I₂ + I₃)R₁ – I₂R₂ = –ε₁ – ε₂;

I₂R₂ + I₃R₁ + I₂R₂ = ε₁ + ε₂;

I₂(R₁ + R₂) + I₃R₁ = ε₁ + ε₂. (5)

Умножив выражение (3) на R₁, а выражение (5) на R₃, и сложив полученные выражения, получаем

 

I₂R₁R₂ + I₂(R₁ + R₂)R₃ = (ε₂ + ε₃)R₁ + (ε₁ ε₂)R₃.

 

Отсюда находим I₂:

;

.

Из выражения (5) находим I₃:

 

;

.

Из выражения (4) получаем

 

I₁ = –(I₂ + I₃) = –(1,2 – 1,6) = 0,4 А.

 

Так как I₃ < 0, то реальное направление I₃ противоположно указанному на рисунке, а направления токов I₁ и I₂ совпадают с указанными.

 

Ответ: I₁ = 0,4 А; I₂ = 1,2 А; I₃ = 1,6 А.