1 метод: возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень.
2 метод: замена переменной.
3 метод: умножение обеих частей уравнения на одну и ту же функцию.
4 метод: применение свойств функций, входящих в уравнение.
Чаще всего при решении иррациональных уравнений применяют 1метод, то есть обе части уравнения возводят в одну и ту же степень. При этом получается уравнение, являющееся следствием исходного. Следует не забывать, что уравнение-следствие наряду с корнями исходного уравнения может содержать и другие корни, которые называются посторонними. Поэтому после решения уравнения-следствия необходимо найти способ отсеять посторонние корни. Обычно это можно сделать при помощи проверки, которая в данном случае рассматривается как один из этапов решения.
Напомним, что при возведении обеих частей уравнения в чётную натуральную степень может получиться уравнение, не равносильное данному.
1 )Решим уравнение .
Решение. Возведём в квадрат обе части уравнения . Получим уравнение .
Обратите внимание: второе уравнение не равносильно исходному, так как первое уравнение имеет только один корень — , а второе — два корня – и .
В этом случае второе уравнение называют следствием первого уравнения. Отметим, что второй корень является посторонним для исходного уравнения, так как при подставновке его в исходное уравнение получим неверное равенство.
Как видим, при возведении иррационального уравнения в натуральную степень могут появиться посторонние корни, поэтому проверка обязательна.
При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать основные свойства иррациональных уравнений:
1. Если показатель радикала – чётное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным, при этом значение радикала также является неотрицательным. Проще говоря, все корни чётной степени, входящие в уравнение, являются арифметическими, то есть если подкоренное выражение отрицательно, то корень лишён смысла; если подкоренное выражение равно 0, то корень также равен 0; если подкоренное выражение положительно, то значение корня – положительно.
2. Если показатель радикала – нечётное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом. В этом случае знак радикала совпадает со знаком подкоренного выражения. Говоря другими словами, все корни нечётной степени, входящие в уравнение определены при любом действительном значении подкоренного выражения и в зависимости от знака подкоренного выражения могут принимать как неотрицательные, так и отрицательные значения.
А теперь давайте приступим к практической части нашего урока.
2) Решите уравнение .
Решение. Отметим, что при уравнение не имеет корней, так как правая часть нашего уравнения будет принимать отрицательные значения. А мы знаем, что значение корня не может быть отрицательным числом. Значит, нам будут подходить только корни больше либо равные 3.
Итак, возведём в квадрат обе части уравнения . Получим равносильное уравнение .
Перенесём все слагаемые из правой части уравнения в левую . Получим уравнение .
Теперь вынесем общий множитель х за скобки. Получим уравнение . В скобках квадратный многочлен разложим на множители.
Имеем .
Чтобы данное уравнение равнялось 0, нужно чтобы хотя бы один из множителей равнялся 0.
Отсюда полученное уравнение имеет корни , , .
Вначале решения мы с вами оговаривали, что корни меньше –3 нам не подходят. Проверим, подходят ли корни и . Подставим их в исходное уравнение. При левая часть исходного уравнения равна , а правая – 3. Имеем верное равенство. Значит, является корнем уравнения. При левая часть исходного уравнения равна , правая – 4. Тоже имеем верное равенство.
Следовательно, также является корнем уравнения.
Ответ: , .
3). Решите уравнение .
Решение. Возведём обе части уравнения в квадрат .
Получим равносильное исходному уравнение .
Приведём подобные члены и перенесём слагаемые без знака корня в правую часть уравнения .
Получим уравнение .
Возведём обе части получившегося уравнения в квадрат.
Получим уравнение .
Раскроем скобки. Перенесём все слагаемые из правой части уравнения в левую. Приведём подобные.
.
.
Получим уравнение .
, .
Последнее уравнение является следствием исходного уравнения. Вычислим его корни. Имеем , .
Выполним проверку.
При выражение . Имеем верное равенство. Значит, является корнем нашего уравнения.
При выражение . Видим: имеем неверное равенство.
Следовательно, не является корнем нашего уравнения. Ответ:4.