8. К вадратичная модель: многофакторное ортогонализированное уравнение регрессии второго порядка, выражающее зависимость параметра Y от k факторов , имеет следующий вид:
. (30)
9. Матрица планирования для построения многофакторного уравнения регрессии второго порядка представляет собой таблицу, состоящую из опытов с числом дублей n каждый, включает в себя столбцы: Nk, , , , , , значения которых позволяют выполнить предварительную обработку экспериментальных данных (расчёт выборочных средних и выборочных дисперсий в каждом опыте, проверка выборочных дисперсий на однородность, расчёт дисперсии воспроизводимости). Такая матрица создаётся на базе ортогонального центрального композиционного плана (ОЦКП), который включает опыты ЦПФП и дополнительные опыты в звёздных точках – по 2 опыта на каждый фактор , . Количество опытов ОЦКП при числе факторов равно . Величина звездного плеча для ОЦКП рассчитывают по формуле:
, (31)
10. Так как число опытов по сравнению с ранее проведенным экспериментом для построения многофакторного уравнения регрессии первого порядка увеличилось на опытов (звёздные точки), то необходимо заново провести предварительную обработку экспериментальных данных в каждом опыте с числом дублей n каждый по уравнениям (6) – (12).
11. Матрица моделирования для построения многофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка строится на базе ОЦКП из опытов и включает в себя столбцы: , , , , , , , , , значения которых позволяют провести окончательную обработку экспериментальных данных (расчёт коэффициентов уравнения регрессии и проверка их на значимость, проверка уравнения регрессии на адекватность, расчёт абсолютной погрешности и оптимизация в случае адекватности уравнения регрессии). Ортогонализирующий коэффициент для квадратичного фактора рассчитывают по уравнению:
. (32)
12. Коэффициенты многофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка рассчитывают по формулам:
, (33)
, , (34)
, , (35)
, . (36)
13. Дисперсии значимости коэффициентов многофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка рассчитывают по формулам:
, (37)
, , (38)
, , (39)
, . (40)
Отметим свойство матрицы моделирования на базе ОЦКП (см. уравнения (38) – (40):
, , (41)
, . (42)
, . (43)
14. Доверительные интервалы коэффициентов многофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка рассчитывают по формулам:
, (44)
, , (45)
, , (46)
, , (47)
где ‑ критическое значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы и доверительной вероятности р находится из таблицы Приложения 2.
Из равенства дисперсий (41) – (43) следует равенство доверительных интервалов:
, , (48)
, , (49)
, . (50)
15. Коэффициенты уравнения регрессии второго порядка значимы, если:
, (51)
, , (52)
, , (53)
, , . (54)
Если для какого-либо регрессионного коэффициента указанное неравенство не выполняется, то этот регрессионный коэффициент незначим, и он исключается из полученного уравнения регрессии.
16. Дисперсия адекватности и её число степеней свободы для многофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка рассчитывают по формуле:
, (55)
, (56)
где n – число дублей в каждом опыте; ‑ остаточная сумма квадратов; ‑ значение параметра Y, рассчитанное по многофакторному ортогонализированному уравнению регрессии второго порядка , в котором оставлены только значимые коэффициенты, ‑ число опытов; В – число значимых коэффициентов многофакторного уравнения регрессии второго порядка.
17. Адекватность уравнения регрессии любого порядка проверяется по критерию Фишера (см. уравнения (26) – (28)).
18. Предельную абсолютную погрешность параметра рассчитанного по двухфакторному ортогонализированному уравнению регрессии второго порядка , определяют по формуле:
, (57)
где ‑ критическое значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы и доверительной вероятности р находится из таблицы Приложения 2.
19. Если многофакторное ортогонализированное уравнение регрессии второго порядка адекватно и все регрессионные коэффициенты отрицательные (положительные), то уравнение регрессии имеет абсолютный максимум (минимум) . Если к тому же все коэффициенты незначимы, то:
, . (58)