1. Пункт плана 1 выполнить самостоятельно.
2. Уровни и интервалы варьирования факторов, а также формулы перевода натуральных х 1, х 2 в нормированные Х 1, Х 2 и обратно, приведены в таблице 2 (см. уравнения (2) – (5))
Таблица 2. – Уровни и интервалы варьирования факторов
Факторы | 1-й фактор (семена) | 2-й фактор (удобрение) | ||
x 1, ц/га | X 1 | x 2, ц/га | X 2 | |
Нижний уровень | x 1 min = 2 | ‑1 | x 2 min = 1 | ‑1 |
Верхний уровень | x 1 max = 5 | +1 | x 2 max = 2 | +1 |
Основной уровень | x 10 = 3.5 | x 20 = 1.5 | ||
Интервал варьирования | D x 1 = 1.5 | D x 2 = 0. 5 | ||
Формулы перевода натуральных (х 1, х 2) в нормированные (Х 1 Х 2) r и обратно | ; ; ; . |
3. В качестве матрицы планирования (таблица 3) для построения двухфакторного уравнения регрессии первого порядка возьмем ЦПФП с числом опытов () и числом дублей (см. радел А, п. 3).
3.1. Методика эксперимента. Так как общее количество опытов и число дублей , организуем в теплице 20 делянок площадью по 1 м2. Количество посевного материала и неорганического удобрения вносится в каждую делянку согласно ЦПФП. Все остальные факторы (количество воды, света, тепла, сроки посева и сбора) поддерживаются на фиксированных, одинаковых для всех делянок уровнях. Полученные результаты эксперимента из таблицы 1 перенесём в таблицу 3.
Таблица 3. – Матрица планирования на базе ЦПФП для ,
и результаты предварительной обработки экспериментальных данных.
N 2 | ||||||||||
– | – | 45.00 | 0.6667 | |||||||
+ | – | 36.00 | 2.000 | |||||||
– | + | 57.00 | 2.000 | |||||||
+ | + | 49.50 | 1.667 | |||||||
3.5 | 1.5 | 54.00 | 2.000 | |||||||
3.2. Выполним предварительную обработку экспериментальных данных (внести в таблицу 3).
Выборочное среднее в каждом опыте (см. уравнение (6)):
, .
Например, выборочное среднее в опыте № 2:
.
Выборочная дисперсия в каждом опыте (см. уравнение (7)):
, .
Например, выборочное среднее в опыте № 2:
.
Проверка выборочных дисперсий на однородность по критерию Кохрена:
‑ экспериментальное значение критерия Кохрена (см. уравнение (8)):
,
‑ критическое значение критерия Кохрена при числах степеней свободы , и доверительной вероятности р выбирается из таблицы Приложения 5:
.
Вывод: выборочные дисперсии однородны, так как (см. уравнение (9)).
Так как все выборочные дисперсии однородны, рассчитаем дисперсию воспроизводимости и её число степеней свободы (см. уравнения (11) – (12)):
,
.
4. Создадим матрицу моделирования для построения двухфакторного уравнениярегрессии первого порядка на базе ЦПФП (таблица 4) (раздел А, п. 5).
Таблица 4. ‑ Матрица моделирования для построения двухфакторного
уравнениярегрессии первого порядка на базе ЦПФП.
N | |||||||||
+ | ‑ | ‑ | 45.00 | +45.00 | –45.00 | –45.00 | 46.00 | 1.000 | |
+ | + | ‑ | 36.00 | +36.00 | +36.00 | –36.00 | 37.80 | 3.240 | |
+ | ‑ | + | 57.00 | +57.00 | –57.00 | +57.00 | 58.80 | 3.240 | |
+ | + | + | 49.50 | +49.50 | +49.50 | +49.50 | 50.60 | 1.210 | |
+ | 54.00 | +54.00 | 0×54.00 | 0×54.00 | 48.30 | 32.49 | |||
241.5 | –16.50 | 25.50 | j = 41.18 | ||||||
48.30 | ‑4.125 | 6.375 | |||||||
Уравнение неадекватно | 0.9 | 1.0 | 1.0 |
4.1. Рассчитаем коэффициенты двухфакторного уравнениярегрессии первого порядка (результаты расчета внесем в таблицу 4):
Создадим столбцы и рассчитаем суммы , :
;
;
.
Рассчитаем суммы :
;
.
Рассчитаем коэффициенты регрессии (см. уравнение (13) – (16)):
;
; .
4.2. Проверим коэффициенты b 0, b 1, b 2 на значимость по критерию Стьюдента.
Рассчитаем дисперсии значимости (см. уравнения (17) – (19):
; ;
; .
Рассчитаем доверительные интервалы (см. уравнение (20) – (21)):
,
,
где – табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы и доверительной вероятности р = 0.95 выбираем из таблицы Приложения 2:
С учетом доверительных интервалов корректно запишем значения коэффициентов :
,
,
.
Вывод: все три регрессионных коэффициента значимы, так как (см. уравнение (23)):
, , .
Таким образом, двухфакторное уравнение регрессии первого порядка, в котором все три регрессионных коэффициента значимы, имеет следующий вид:
.
4.3. Проверим полученное двухфакторное уравнение регрессии первого порядка на адекватность по критерию Фишера (результаты расчета внесем в таблицу 4):
Рассчитаем параметр в каждом опыте по двухфакторному уравнению регрессии первого порядка. Например: .
Образуем столбец , и рассчитаем его значения. Например:
.
Рассчитаем остаточную сумму квадратов
;
Рассчитаем и её число степеней свободы (см. уравнения (24) – (25)):
; .
Проверим полученное двухфакторное уравнение регрессии на адекватность по критерию Фишера:
‑ экспериментальное значение критерия Фишера (см. уравнение (26)):
, так как ;
‑ табличное значение критерия Фишера при числах степеней свободы , и доверительной вероятности р = 0.95 выбираем из таблицы Приложения 4: .
Вывод: полученное двухфакторное уравнение регрессии первого порядка неадекватно, так как (см. уравнение (28)).
5. Так как полученное уравнение регрессии первого порядка неадекватно, следует перейти к построению двухфакторного ортогонализированного уравнения второго порядка.
План решения типовой задачи (уравнение регрессии второго порядка)
1. Создать матрицу планирования для построения ортогонализированного двухфакторного уравнениярегрессии второго порядка на базе ОЦКП и выполнить предварительную обработку экспериментальных данных.
2. Создать матрицу моделирования для построения ортогонализированного двухфакторного уравнениерегрессии второго порядка, рассчитать коэффициенты и произвести статистическую оценку качества полученногоуравнениярегрессии(значимость коэффициентов регрессии, адекватность уравнения регрессии).
3. Найти оптимальные значения факторов, при которых параметр Y достигает максимальной величины, а также её абсолютную и относительную погрешность.
4. Принять решение о дальнейшем пути исследования изучаемого объекта.
Дополнительные экспериментальные данные по урожайности пшеницы () на базе ОЦКП с числом опытов и числом дублей для звёздных опытов (№№ 6 – 9) представлены в таблице 5.
Таблица 5. ‑ Экспериментальные данные для звёздных точек ОЦКП
N 2 | ||||||
– | ||||||
+ | ||||||
‑ | ||||||
+ |
Решение задачи по плану
1. Создадим матрицу планирования (таблица 6) (см. раздел Б, п. 9), дополнив матрицу планирования (таблица 3) звездными точками . Для (см. уравнение (30)). Количество опытов ОЦКП равно , количество дублей . Внесём в матрицу планирования (таблица 6) экспериментальные данные из таблицы2и дополнительные экспериментальные данные для звёздных опытов из таблицы 5.
Таблица 6. ‑ Матрица планирования на базе ОЦКП для k = 2 и
результаты предварительной обработки
N | ||||||||||
‑ | – | 45.00 | 0.6667 | |||||||
+ | – | 36.00 | 2.000 | |||||||
‑ | + | 57.00 | 2.000 | |||||||
+ | + | 49.50 | 1.667 | |||||||
54.00 | 2.000 | |||||||||
‑ | 57.00 | 0.6667 | ||||||||
+ | 49.50 | 1.6667 | ||||||||
– | 43.00 | 6.000 | ||||||||
+ | 56.50 | 1.667 | ||||||||
1.1. Выполним предварительную обработку экспериментальных данных, результаты расчета внесем в таблицу 6.
Выборочное среднее в звездных точках (см. уравнение (6)):
, .
Например, выборочное среднее в опыте № 8:
.
Выборочная дисперсия в звездных точках (см. уравнение (7)):
, .
Например, выборочное среднее в опыте № 8:
Проверка выборочных дисперсий на однородность по критерию Кохрена:
‑ экспериментальное значение критерия Кохрена (см. уравнение (8)):
,
‑ критическое значение критерия Кохрена при числах степеней свободы , и доверительной вероятности р выбирается из таблицы Приложения 5: . Вывод: 9 выборочных дисперсий однородны, так как . (см. уравнение (9)).
1.2. Так как все выборочные дисперсии однородны, рассчитаем дисперсию воспроизводимости и её число степеней свободы (см. уравнение (11) – (12)):
, .
2. Создадим матрицу моделирования на базе матрицы ОЦКПдля построения ортогонализированного двухфакторного уравнениерегрессии второго порядка (таблица 7). Создадим столбцы N 2, , где ортогонализирующий коэффициент (см. уравнение (32))и внесем в матрицу моделирования выборочные средние каждого опыта из таблицы 6.
Таблица 7. ‑ Матрица моделирования для построения ортогонализированного
двухфакторного уравнениярегрессии второго порядка на базе ОЦКП.
N k | |||||||||||||||
+ | ‑ | ‑ | + | 1/3 | 1/3 | 45.00 | +45.00 | ‑ 45.00 | ‑ 45.00 | +45.00 | 1/3×45.00 | 1/3×45.00 | 44.59 | 0.1681 | |
+ | + | + | – | 1/3 | 1/3 | 36.00 | +36.00 | +36.00 | ‑ 36.00 | ‑ 36.00 | 1/3×36.00 | 1/3×36.00 | 36.59 | 0.3481 | |
+ | ‑ | ‑ | – | 1/3 | 1/3 | 57.00 | +57.00 | ‑ 57.00 | +57.00 | ‑ 57.00 | 1/3×57.00 | 1/3×57.00 | 57.59 | 0.3481 | |
+ | + | + | + | 1/3 | 1/3 | 49.50 | +49.50 | +49.50 | +49.50 | +49.50 | 1/3×49.50 | 1/3×49.50 | 49.59 | 0.0081 | |
+ | ‑ 2/3 | ‑ 2/3 | 54.00 | +54.00 | 0×54.00 | 0×54.00 | 0×54.00 | ‑ 2/3×54.00 | ‑ 2/3×54.00 | 54.99 | 0.9801 | ||||
+ | ‑ | 1/3 | ‑ 2/3 | 57.00 | +57.00 | ‑ 57.00 | 0×57.00 | 0×57.00 | 1/3×57.00 | ‑ 2/3×57.00 | 56.79 | 0.0441 | |||
+ | + | 1/3 | ‑ 2/3 | 49.50 | +49.50 | +49.50 | 0×49.50 | 0×49.50 | 1/3×49.50 | ‑ 2/3×49.50 | 48.79 | 0.5041 | |||
+ | ‑ | ‑ 2/3 | 1/3 | 43.00 | +43.00 | 0×43.00 | ‑ 43.00 | 0×43.00 | ‑ 2/3×43.00 | 1/3×43.00 | 42.79 | 0.0441 | |||
+ | + | ‑ 2/3 | 1/3 | 57.50 | +57.50 | 0×57.50 | +57.50 | 0×57.50 | ‑ 2/3×57.50 | 1/3×57.50 | 55.79 | 0.5041 | |||
447.5 | ‑ 24.00 | 39.00 | 1.500 | ‑ 4.333 | ‑ 11.33 | j = 2.949 | |||||||||
49.72 | ‑ 4.000 | 6.500 | 0.3750 | ‑ 2.167 | ‑ 5.665 | ||||||||||
Уравнение адекватно | 0.49 | 0.6 | 0.6 | 0.7 | 1.0 | 1.0 |
2.1. Рассчитаем коэффициенты ортогонализированного двухфакторного уравнения регрессии второго порядка (значения тоже изменятся, так как число опытов увеличилось с 5-ти до 9-ти).
Создадим столбцы и рассчитаем суммы , (результаты расчета внести в таблицу 6).
;
;
;
;
;
.
Рассчитаем суммы :
;
;
;
.
2.2. Рассчитаем коэффициенты двухфакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка (см. уравнения (33) – (36)):
;
; ;
;
; .
2.3. Проверим полученные коэффициенты ортогонализированного двухфакторного уравнения регрессии второго порядка на значимость.
Рассчитаем дисперсии значимости коэффициентов ортогонализированного двухфакторного уравнения регрессии второго порядка (см. уравнения (37) – (43)):
;
;
;
.
Рассчитаем доверительные интервалы коэффициентов ортогонализированного двухфакторного уравнения регрессии второго порядка по критерию Стьюдента (см. уравнения (44) – (50)):
;
;
;
.
где – табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы и доверительной вероятности р = 0.95 выбираем из таблицы Приложения 2:
Корректно запишем значения коэффициентов :
,
, ,
,
, .
Регрессионные коэффициента значимы, так как (см. уравнения (51) – (54)):
;
, .
,
Регрессионный коэффициент незначим, так как .
Вывод: ортогонализированное двухфакторное уравнение регрессии второго порядка, в котором 5 коэффициентов значимы, а коэффициент незначим, имеет следующий вид:
.
2.4. Проверим полученное ортогонализированное двухфакторное уравнение регрессии второго порядка на адекватность по критерию Фишера:
Рассчитаем параметр по ортогонализированному двухфакторному уравнению регрессии второго порядка в каждом опыте (результаты расчета внести в таблицу 6). Например:
.
Образуем столбец и рассчитаем его значения (результаты расчета внести в таблицу 6), например: .
Рассчитаем остаточную сумму квадратов :
Рассчитаем дисперсию адекватности и её число степеней свободы (см. уравнения (55)–(56)):
, ,
где В – число значимых коэффициентов ортогонализированного двухфакторного уравнения регрессии второго порядка. В данной задаче .
Проверим полученное ортогонализированное двухфакторное уравнение регрессии второго порядка на адекватность по критерию Фишера:
‑ экспериментальное значение критерия Фишера (см. уравнения (26)):
, так как ;
‑ критическое значение критерия Фишера при числах степеней свободы , и доверительной вероятности р = 0.95 выбираем из таблицы Приложения 4: .
Вывод: полученное двухфакторное ортогонализированное уравнение регрессии второго порядка
.
адекватно, так как (см. уравнения (27)).
3. Рассчитаем оптимальные нормированные и натуральные значения факторов, при которых параметр Y (Х 1, X 2) достигает максимума. Так как коэффициенты регрессии и , а незначим (см. уравнения (58)), то нормированные значения равны:
; .
Оптимальные значения факторов в натуральных координатах , равны (см. уравнение (3)):
;
.
3.1. Рассчитаем максимальную урожайность пшеницы по адекватному ортогонализированному многофакторному уравнению регрессии второго порядка:
.
3.2. Рассчитаем абсолютную и относительную погрешность параметра Y max, рассчитанного по адекватному ортогонализированному двухфакторному уравнению регрессии второго порядка (см. уравнение (58)):
‑ относительная погрешность :
;
С учетом абсолютной погрешности корректно запишем :
, ц/га
4. Основной вывод: максимальная урожайность пшеницы может быть достигнута при внесении в почву х 1 = 2.1 ц/га семян и х 2 = 1.8 ц/га неорганического удобрения.