Е2 |
R1 |
R2 |
Е5 |
R4 |
R5 |
Е4 |
R3 |
R6 |
Рисунок 1 – Электрическая цепь постоянного тока
Е2= 100 В; Е4= 50 В; Е5= 20В; R1=1 Ом; R2 =2 Ом; R3 = 8 Ом; R4 = 4 Ом; R5 = 5 Ом; R6 = 2 Ом.
Определить: токи в ветвях электрической цепи
Решение:
Составим уравнения по законам Кирхгофа. Согласно I закону Кирхгоффа:
где Ii – токи в ветвях цепи.
I закон Кирхгофа справедлив как для узла, так и для замкнутого контура. Чтобы составить уравнения по этому закону, необходимо:
1) произвольно выбрать направления токов;
2) составить уравнения с учетом направления.
По I закону Кирхгофа мы имеем право составить n-1 уравнений (n – число узлов).
Согласно II закону Кирхгофа:
где R – сопротивление, Ом;
𝓔 – ЭДС источника, В.
По II закону Кирхгофа мы имеем право составить число уравнений не больше, чем число независимых контуров. Для составления уравнений по данному закону необходимо:
- выбрать направление обхода контура;
- выбрать направления токов.
При составлении уравнения направление на элементе считается положительным, если выбранное направление тока совпадает с направлением обхода контура.
Общее число уравнений по двум законам Кирхгофа должно быть равно числу неизвестных. Как правило, при расчете сложных электрических цепей неизвестными являются токи в ветвях. Следовательно, общее число уравнений равно числу ветвей.
Произвольным образом расставляем токи в ветвях. При этом будем считать, что ток, входящий в узел, является положительным, а ток, выходящий из узла, - отрицательным.
I1 |
R1 |
I6 |
I2 |
R2 |
Е5 |
R3 |
Е4 |
R6 |
R4 |
R5 |
I3 |
I4 |
I5 |
Е2 |
Рисунок 2 – Электрическая цепь постоянного тока
Составляем уравнения:
I1 + I2 – I3 = 0
- I1 – I4 + I6 = 0
I2 + I5 – I6 = 0
I1R1 – I3R3 – I4R4 = –Е4
I2R2 + I3R3 – I5R5 = -E5
I4R4 + I5R5 + I6R6 = E4+Е5
Будем рассчитывать данную электрическую цепь постоянного тока при помощи метода контурных токов. Он позволяет уменьшить число совместно решаемых уравнений и основан на применении второго закона Кирхгофа.
Согласно этому методу число уравнений К = В – У + 1 (К – число уравнений, В – число ветвей, У – число узлов).
1) Выбираем К независимых контуров и положительных направлений так называемых контурных токов, каждый из которых протекает по всем элементам соответствующего контура. В нашем случае мы имеем 3 независимых контура.
2)
Е2 |
I1 |
R1 |
R2 |
R3 |
I3 |
I11 |
I22 |
Е4 |
Е5 |
R5 |
R4 |
I2 |
R6 |
I4 |
I5 |
I33 |
Рисунок 3
Получаем:
(R1 + R3 + R4)I11 – R3I22 - R4I33 = –Е4
– R3I11 + (R2 + R3 + R5)I22 – R5I33 = -Е5
-R4I11 - R5I22 + (R4 + R5 + R6)I33 = Е4 + E5
13I11 – 8I22 - 4I33= -50
-8I11+ 15I22 - 5I33= -20
-4I11 - 5I22+ 11I33 = 70
Решаем данную систему уравнений с помощью определителя 3-го порядка:
=
Δ = 556
Δ1 = -2160
Δ2 = -1150
Δ3 = 2230
Определяем контурные токи:
I11 = Δ1/ Δ = -2160 /556 = -3,88
I22 = Δ2/ Δ = -1150 / 566 = -2,07
I33 = Δ3/ Δ = 2230 / 566 = 4,01
Находим токи ветвей по первому закону Кирхгофа:
I1 = I11 = -3,88 A;
I2 = I22 = -2,07 A;
I3 = I22 – I11 = -2,07 + 3,88 = 1,81 A;
I4 = I33 – I11 = 4,01 + 3,88 = 7,89 A;
I5 = I33 – I22 = 4,01 + 1,81 = 6,08 A;
I6 = I33 = 4,01 A
Изобразим схему электрической цепи и покажем на ней действительные направления токов:
I6 |
I1 |
I2 |
R2 |
R1 |
R3 |
Е4 |
R6 |
R4 |
R5 |
I3 |
I4 |
I5 |
Е5 |
а |
b |
c |
d |
e |
f |
Рисунок 4
Делаем проверку по балансу мощности:
Е2 взята с отрицательным знаком, потому что является потребителем энергии, а E4 и Е5 – источником.
Рассмотрим контур abcdefa. Принимаем φа = 0. Тогда
φа = 0
φb = φа - E4 = 0 - 50 = -50 В
φc = φb + I4R4 = -50+7.89∙4 = -18.44 В
φd = φc - E5 = -18.44 - 20 = -38.44 В
φe = φd – I5R5 = -38.44 – 6.08·5 = -68.84 В
φf = φe – I2R2 = -68.84 – 4.14 = -99.98 В
φa = φf + E6 = -99.98 + 100 = -0,02 ≈ 0
На рисунке 5 представлена потенциальная диаграмма для внешнего контура.
r, Ом |
U, B |
-10 |
a |
b |
c |
d |
f |
e |
Рисунок 5 – Потенциальная диаграмма для внешнего контура