ЕН.01 Математика группа ПС-92/1 23.11.2020
ЗАДАНИЕ:
1) Прочитайте теоретический материал лекции 3, разберите решение примеров 1 и 2.
2) Аналогично с примерами 1 и 2 решите в тетради практическую работу по вариантам.
3) Выполненную работу присылаем на проверку в Контакт до 24.11 включительно.
Критерии оценки:
«3» - задания выполнены с ошибками
«4» - выполнен без ошибок один номер
«5» - выполнены без ошибок два номера
ЛЕКЦИЯ 3
Исследование свойств функции с помощью производной
- Монотонность функции: возрастание и убывание функции.
Монотонность функции характеризуется знаком её первой производной.
Функция на промежутке называется возрастающей, если в этом промежутке производная функции положительная (имеет знак плюс), т.е.
Функция на промежутке называется убывающей, если в этом промежутке производная функции отрицательная (имеет знак минус), т.е.
Критические точки это точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв, т.е.
- Экстремумы функции: точки максимума и минимума.
Точка является точкой максимума, если при переходе через критическую точку производная функции меняет знак с «+» на «-».
Точка является точкой минимума, если при переходе через критическую точку производная функции меняет знак с «-» на «+».
Если при переходе через критическую точку производная не меняет знака, то функция не имеет экстремума.
Правило нахождения промежутков монотонности и точек экстремума:
1. Найти производную данной функции.
2. Найти критические точки (решить уравнение).
3. Найденные точки отметить на оси ОХ и найти знаки производной функции в промежутках.
4. По знакам производной сделать выводы о монотонности графика функции и точках экстремума.
5. Вычислить значение функции в точках экстремума и записать координаты полученных точек.
Пример 1. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции
Решение: (смотрим правило нахождения промежутков монотонности и точек экстремума)
, значит (0;1) – точка max
, значит (1;-2) – точка min
Функция возрастает при и убывает при
- Выпуклость графика функции: выпуклость вверх и выпуклость вниз (вогнутость).
Выпуклость графика функции характеризуется знаком её второй производной.
Функция на промежутке выпукла вверх, если в этом промежутке вторая производная функции отрицательная (имеет знак минус), т.е.
Функция на промежутке выпукла вниз, если в этом промежутке вторая производная функции положительная (имеет знак плюс), т.е. .
Правило нахождения промежутков выпуклости:
- Найти вторую производную данной функции.
- Найти точки, в которых вторая производная равна нулю (решить уравнение).
- Найденные точки отметить на оси ОХ и найти знаки второй производной функции в промежутках.
- По знакам производной сделать выводы о направлениях выпуклости графика функции и точках перегиба.
Пример 2. Найти промежутки выпуклости графика функции
Решение: (смотрим правило нахождения промежутков выпуклости)
Функция выпукла вверх при и выпукла вниз при
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №3
Исследование свойств функции с помощью производной
1 вариант
№ 1 Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции
№ 2 Найти промежутки выпуклости графика функции
2 вариант
№ 1 Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции
№ 2 Найти промежутки выпуклости графика функции
3 вариант
№ 1 Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции
№ 2 Найти промежутки выпуклости графика функции
4 вариант
№ 1 Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции
№ 2 Найти промежутки выпуклости графика функции
5 вариант
№ 1 Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции
№ 2 Найти промежутки выпуклости графика функции
6 вариант
№ 1 Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции
№ 2 Найти промежутки выпуклости графика функции
7 вариант
№ 1 Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции
№ 2 Найти промежутки выпуклости графика функции
8 вариант
№ 1 Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции
№ 2 Найти промежутки выпуклости графика функции
9 вариант
№ 1 Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции
№ 2 Найти промежутки выпуклости графика функции
10 вариант
№ 1 Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции
№ 2 Найти промежутки выпуклости графика функции