ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫРЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ.
МЕТОД РИТЦА ДЛЯ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
ИЗГИБА БАЛКИ
Решение многих краевых задач для дифф. уравнений можно свести к задаче нахождения некоторого функционала (см. лекцию 6) при соответствующих граничных условиях. При этом дифф. уравнение является уравнением Эйлера-Лагранжа для функционала . Методы решения дифф. уравнений путем минимизации функционалов называют прямыми методами вариационного исчисления.
Например, функционалы , (8)
(12)
для которых уравнения Эйлера-Лагранжа имеют вид:
(9)
(12¢)
и соответствуют дифф. уравнениям 2-го порядка (обыкновенным и в частных производных) при граничных условиях:
а) и б) .
Таким образом, решение дифф. уравнения (краевой задачи) можно получить путем минимизации соответствующего функционала , поскольку минимизирующая функция функционала является решением соответствующего уравнения Эйлера-Лагранжа – исходного дифф. уравнения.
Рассмотрим два из них.
Метод Ритца
Пусть есть точное решение задачи (12) или (8) и .Если удастся построить функцию , которая удовлетворяет граничным условиям и для которой весьма близко к , то следует ожидать, что будет хорошим приближением к истинному решению задачи. Если же удастся построить минимизирующую последовательность , то есть основание ожидать, что такая последовательность будет в том или ином смысле сходиться к решению.
Для физического нахождения функции , дающей значение , близкое к минимальному, Ритцем был предложен следующий метод (1908 г.).
Рассматривается семейство функций, зависящее от нескольких параметров и удовлетворяющее граничным условиям краевой задачи:
(1)
Найдем среди допустимых функций ту, которая дает функционалу наименьшее значение. Эта задача является уже несравненно более легкой, чем первоначальная. Действительно, подставив в функционал вместо выражение (1) и выполнив необходимые операции дифференцирования и интегрирования, получим функцию переменных , т.е. . Так как мы должны добиться этой функции, то числа должны удовлетворять системе уравнений
(2)
Решив эту систему, получим определенные значения параметров дающие функции ) абсолютный минимум. В результате среди функций (1), выбрав функцию, отвечающую именно этим значениям параметров, получим требуемое приближенное решение
(3)
Наиболее практически важных случаях в интеграле подинтегральное выражение представляет собой многочлен второй степени относительно . Если семейство (1) берется линейно зависящим от параметров :
, (4)
то квадратичный функционал будет квадратичной функцией параметров . Поэтому задача нахождения минимума квадратичной функции ) посредством дифференцирования (2) по сводится к системе минимальных алгебраических уравнений. Система линейных алгебраических уравнений нетрудно решается при ~ 102. Практически бывает достаточным .
Примеры. 1) Пусть имеется
и т.д.
Тогда
.
Систему уравнений , где
; .
2)
. Тогда
.
Остановимся теперь на вопросе о том, в каком случае методом Ритца можно получить сколь угодно близкое приближение к действительному . Получаем причем . Когда последовательность стремится к истинному минимуму:
(5)
Достаточным условием для этого является полнота системы семейств (1), которая состоит в следующем: каковы бы ни были функция непрерывна вместе с и и удовлетворяющая граничному условию и , можно будет указать такое и такую функцию среди семейства (1): , что повсюду в области D будут справедливы неравенства:
, , т.е. любая функция может быть сколь угодно аппроксимирована вместе с частными производными посредством функций из семейств (1). Полноту системы обычно удается обнаруживать, пользуясь обобщенной теоремой Вейерштрасса:
Т. Если для непрерывна в замкнутой ограниченной области D вместе с частными производными и , то можно по указать такой полином , что в области будут выполнены неравенства:
(6)
С помощью этой теоремы можно установить полноту исследующей системы функций: пусть - непрерывная и имеющая внутри D ограниченные и непрерывные производные и ; и внутри D и . Тогда в качестве основной системы функций (1) можно принять:
(7)
Функции называются базисными (координатными функциями).
Для прямоугольника [ ]
Если уравнение границы Г: где F - непрерывна вместе с частными производными, то . Иногда берут комбинации тригонометрических функций. Замечание. Пусть имеется операторное уравнение АУ = . Если А положительно определенный и или -самосопряженный оператор (линейный оператор, совпадающий со своим сопряженным оператором А=А*® аналогично симметрии матриц, то метод Ритца позволяет получить решение уравнения (*)
Метод Бубнова-Галеркина (1915 г.)