Решение двух обыкновенных дифференциальных уравнений
В этом разделе рассмотрены два дифференциальных уравнения, решения которых будут неоднократно использоваться в курсе. Это уравнение релаксационного типа, описывающее, например, движение частицы в вязкой сплошной среде. И уравнение динамики осциллятора под действием внешней силы.
Уравнение релаксационного типа
Уравнение часто встречается в различных физических приложениях и описывает динамику системы в диссипативной среде. В качестве примера рассмотрим движение твердой частицы в вязком газе. Скорость частицы определяется силой трения, которая в линейном приближении зависит от разности скорости газа и частицы
, .
Здесь – начальная скорость частицы, – время динамической релаксации.
Решение уравнения ищем в виде суммы , состоящей из общего решения однородного уравнения с заданным начальным условием и частного решения неоднородного уравнения с нулевым начальным условием. Решение однородного уравнения имеет вид
, , .
Частное решение неоднородного уравнения ищем методом вариации постоянной . В результате подстановки в уравнение находим уравнение для коэффициента с нулевым начальным условием
, .
Решение последнего уравнения очевидно
.
Окончательно решение уравнения релаксационного типа записывается в виде
.
Решение описывает затухание начальной скорости в результате диссипации и вовлечение частицы в движение несущей среды. Для постоянной скорости среды решение принимает простую форму
.
Из формулы видно, что для времен скорость частицы стремится к скорости несущей среды. Начальная информация в диссипативной среде забывается за время порядка времени динамической релаксации. На рис. 1 представлено изменение скорости частицы во времени, рассчитанное по формуле. Видно, что уменьшение времени релаксации приводит к сокращению периода выхода скорости частицы на стационарный уровень.
Для периодического воздействия на систему формула принимает вид
Рис. 1. Скорость частицы в диссипативной среде.
Вычисление интеграла реализуется следующим образом
Скорость частицы в среде с периодическими флуктуациями скорости равна
.
Видно, что при больших временах скорость частицы также принимает колебательный характер, однако амплитуда скорости существенно снижается с ростом времени динамической релаксации.
Рис. 2. Скорость частицы в вязкой осциллирующей среде.
Рисунок 2 иллюстрирует выход инерционной частицы на стационарный режим колебаний в вязкой среде. Видно, что рост времени релаксации приводит к меньшей амплитуде колебаний и увеличению периода выхода на стационарный режим.
Осциллятор. Явление резонанса
Уравнение и начальные условия для амплитуды колебаний осциллятора под действием возмущения имеют вид
,
, .
Решение уравнения ищем в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения с заданными начальными условиями. Общее решение однородного уравнения имеет вид
.
Решение неоднородного уравнения ищем методом вариации постоянной
.
Рассчитываем производные
.
Далее полагаем
.
Из формул и видно, что удовлетворить нулевым начальным условиям можно потребовав выполнения условий .
Расчет второй производной от функции с учетом равенства приводит к выражению
Подстановка формул и в уравнение приводит к выражению
.
Система уравнений и служит для расчета производных от функций и
, .
Решение этих уравнений с нулевыми начальными условиями имеет вид
, .
Подставив эти выражения в формулу, получаем
.
Решение однородного уравнения при начальных условиях тождественно равно нулю. Таким обратом, решение задачи - имеет вид
.
Для периодического внешнего воздействия вычисление интеграла в формуле приводит к следующему выражению
.
Из формулы видно, что при совпадающих частотах внешней силы и осциллятора существует неопределенность типа . Раскрывая эту неопределенность по правилу Лопиталя, находим
.
Совпадение частот приводит к резонансу, когда амплитуда растет линейно со временем.
Рис. 3. Иллюстрация резонанса.
Из рис. 3 видно, что при несовпадающих частотах наблюдаются биения, совпадение частот приводит к росту амплитуды колебаний.