1. Ознакомиться с теоретическими сведениями.
2. Выбрать свой вариант согласно первым буквам фамилии и полного имени.
3. Записать исходные данные.
4. Решить задания.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Производная функции. Понятие о производных высших порядков.
2. Основные правила дифференцирования. Производная сложной функции.
3. Свойства производной функции. Производные основных элементарных функций.
4. Дифференцирование неявных, параметрически заданных и заданных в полярных координатах функций.
5.
6.
Практическаяработа№3
Тема:Исследование и построение графиков функций с помощью производной.
Цель: Научиться исследовать функцию и строить ее график.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Схема исследования функций
Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:
1) Область существования функции. Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.
2) Точки разрыва. (Если они имеются).
3) Интервалы возрастания и убывания.
4) Точки максимума и минимума.
5) Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.
6) Области выпуклости и вогнутости.
7) Точки перегиба.(Если они имеются).
8) Асимптоты.(Если они имеются).
9) Построение графика.
Применение этой схемы рассмотрим на примере.
Пример. Исследовать функцию и построить ее график.
Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).
В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.
Областью значений данной функции является интервал(-¥; ¥).
Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.
Находим критические точки.
Найдем производную функции
Критические точки: x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = 1.
Найдем вторую производную функции
.
Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.
-¥<x< - | - <x< -1 | -1 <x< 0 | 0 <x< 1 | 1 <x< | <x<¥ |
y¢¢< 0 | y¢¢< 0 | y¢¢> 0 | y¢¢< 0 | y¢¢> 0 | y¢¢> 0 |
кривая выпуклая | кривая выпуклая | кривая вогнутая | кривая выпуклая | кривая вогнутая | кривая вогнутая |
Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.
-¥<x< - | - <x< -1 | -1 <x< 0 | 0 <x< 1 | 1 <x< | <x<¥ |
y¢> 0 | y¢< 0 | y¢< 0 | y¢< 0 | y¢< 0 | y¢¢> 0 |
функция возрастает | функция убывает | функция убывает | функция убывает | функция убывает | функция возрастает |
Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3 /2 и -3 /2.
Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты.
Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x.
Построим график функции.
ВАРИАНТЫ
Числовых данных параметров т и п определяются по первым буквам фамилии и полного имени.
А-В | Г-Е | Ж-И | К-М | Н-П | Р-Т | У-Х | Ц-Ш | Щ-Э | Ю-Я | ||
Фамилия | т | ||||||||||
Имя | п |
ЗАДАНИЯ
Исследовать функцию и построить ее график.
.