Элементы комбинаторики.
Правило суммы.
Пусть выбираются два объекта и . Тогда, если объект можно выбрать способами, а объект можно выбрать способами, то выбор " " можно осуществить способами.
Правило произведения.
Пусть выбираются два объекта и . Тогда, если объект можно выбрать способами, а другой объект можно выбрать способами, то выбор пары " " в указанном порядке можно осуществить способами.
Размещением элементов из называется выборка расположенных в определенном порядке каких-либо элементов из данных различных элементов, т.е. упорядоченное множество элементов из . Количество размещений обозначается и вычисляется по формуле, содержащей сомножителей:
.
Перестановкой из различных элементов называется расположение этих элементов в строго фиксированном порядке, т.е. упорядоченное множество различных элементов. Количество таких перестановок обозначается и находится по формуле
,
где (по определению ).
Сочетанием элементов из различных называется выборка каких-либо элементов из данных элементов без учета порядка, т.е. неупорядоченное множество элементов из . Количество различных сочетаний обозначается и вычисляется по формуле:
или
Случайные события.
Эксперимент, множество исходов которого состоит более чем из одного элемента, называют случайным или стохастическим. Множество всех возможных исходов эксперимента можно представить в виде:
, где – элементарный исход эксперимента.
Для пространства элементарных исходов событием называется любое его подмножество. Говорят, что событие произошло, если в результате эксперимента имел место исход .
Суммой событий и называется событие, состоящее в выполнении хотя бы одного из этих событий и обозначается или .
Произведением событий и называется событие, состоящее в совместном выполнении этих событий и обозначается или .
Противоположным по отношению к событию называется событие , состоящее в том, что событие не произошло:
, ,
.
Разностью событий и называется событие, состоящее в выполнении , но в невыполнении . Разность событий обозначается или .
Система множеств (, ) называется вероятностным пространством эксперимента с пространством элементарных исходов . Часто вероятностное пространство задают в виде таблицы.
… | ||||||
… |
Вероятностью события называется сумма вероятностей элементарных исходов, это событие образующих.
Классическая вероятность для вероятностного пространства с равновозможными элементарными исходами :
элементарные исходы называют благоприятными для исходами, количество таких исходов обозначают
или .
Теорема о вероятности суммы событий:
для двух событий
для трех событий
,
для четырёх событий
,
и так далее.
Теорема о вероятности противоположного события: .
Если к комплексу условий, при которых была получена , добавить новое условие , то полученная вероятность события , найденная при условии, что произошло, называется условной вероятностью события и обозначается , или , или .
Теорема о вероятности произведения событий:
.
Если и, соответственно, , то и называются независимыми.
Для независимых событий .
Группа событий называется полной, если .
Формула полной вероятности.
Пусть , , …, – полная группа событий, которую мы назовём гипотезами.
Известны вероятности , , …, (обязательно ) и условные вероятности события при реализации каждой из гипотез: , , …, . Тогда
Формула Байеса.
При тех же условиях , .
Случайные величины.
Под случайной величиной понимается переменная, которая в результате эксперимента в зависимости от случая принимает то или иное значение (одно из возможного множества своих значений, какое именно – заранее не известно).
Функцией распределения с.в. называется .
Свойства :
1)
2) ,
3) если , то
4) непрерывна слева, т.е.
5) (одна из основных формул!!!)
6) , т.е. если непрерывна в точке , то .
7) если на , то .
Случайная величина называется дискретной, если множество её значений конечно или счётно.
Рядом распределениядискретной случайной величины называется таблица, где в верхней строке перечислены в порядке возрастания все возможные значения с.в. , а в нижней – вероятности для с.в. принять каждое из этих значений.
... | ... | ||||
... | ... |
Очевидно, что .
Случайная величина называется непрерывной, если бесконечное несчётное множество её значений заполняют один или несколько интервалов (конечных или бесконечных) на числовой оси. Для непрерывной с.в. функция распределения непрерывна в любой точке и, следовательно, для .
Плотностью распределения непрерывной случайной величины называется .
Свойства :
1) (кривая плотности не может лежать ниже оси ОХ)
2) (площадь между осью и графиком равна 1).
3)
4) (одна из основных формул!!!)