Получить символьное решение дифференциального уравнения в ML проще, чем получить решение численными методами. Оно может быть найдено с помощью функции dsolve (expr, cond, var), в которой выражение expr описывает обыкновенное дифференциальное уравнение, cond – начальное условие, var – независимая переменная (её имя не должно начинаться с D). Если она не задана, то по умолчанию независимой переменной считается t.
Существуют правила записи дифференциального уравнения. Для обозначения операции дифференцирования используется символ D. Производная n- го порядка указывается как Dn, т.е. D = dy / dt, a D2 = d2 y / dt2.
Решим уравнение dy / dx=(y+1)/ x
Если решается одно уравнение, то то результат будет содержать константы (постоянные) интегрирования, которые обозначаются C1, C2…
>> dsolve ('Dy=(y+1)/ x', 'x')
ans =
C2* x – 1 % С2 – постоянная интегрирования
Решим уравнение t*(1+t^2)*dx/dt = x+x*t^2-t^2 с начальным условием
x(1) =- pi/4
>> dsolve('t*(1+t^2)*Dx=x+x*t^2-t^2', 'x(1) =-pi/4')
ans =
-t* atan (t)
Решим уравнение 5y(x)+xy'(x)=x^2y(x), y(0)=2
%диф ур 5y(x)+xy'(x)=x^2y(x), y(0)=2
disp('решение диф ур')
dsolve('5*y+x*Dy=x62*y','y(0)=2')
Получим:
решение диф ур
ans =
2*exp((t*(x62 - 5))/x)
В случае уравнения второго порядка 4y''+16y'+15y=4e-3x/2 при начальных условиях у(0)=3, y’(0)=-5.5 (количество начальных условий соответствует порядку уравнения).
>> dsolve ('4*D2y+16*Dy+15*y=4*exp(-3*x/2)','y(0)=3','Dy(0)=-5.5','x')
ans =
2/exp((3*x)/2) + 2/exp((5*x)/2) + x/exp((3*x)/2) - exp(x)/exp((5*x)/2)
Можно получить в другом виде (числовом):
Vpa(ans,4)
ans =
2.0/exp(1.5*x) + 2.0/exp(2.5*x) - (1.0*exp(x))/exp(2.5*x) + x/exp(1.5*x)
Для решения системы дифференциальных уравнений в параметрах функции dsolve () указывают несколько уравнений и несколько начальных условий. Найдем решение системы x'=x+2y, y'=3x-4y с начальными условиями х(0)=1 и у(0)=2.
>> [x y]=dsolve('Dx=x+2*y','Dy=3*x-4*y','x(0)=1','y(0)=2')
x =
(10*exp (2*t)) / 7 – 3 / (7*exp (5*t))
y =
(5*exp (2*t)) / 7 + 9 / (7*exp (5*t))
Вычисление пределов
Число b называется пределом последовательности у1, у2, …уn, …, если по мере возрастания номера n член уn неограниченно приближается к b. Предел обозначается .
Для нахождения предела символьного выражения fun в точке х, стремящейся к а предусмотрена функция limit (fun, x, a).
Fun – символьная функция, х - переменная, a - точка, в которой ищется предел.
Например, предел функции (х-1)/(х+5)
Надо задать символьную переменную
>> syms x
Построим график
>> f=(x-1)/(x+5)
f =
(x-1)/(x+5)
>> ezplot(f,-10,10)
>> grid
В качестве точки предела используем inf (бесконечность)
>> limit (f, x, inf) % Предел при
ans =
>> limit (f, x,-inf) % Предел при
ans =
>> limit (f, x, -5) % Предел при
ans =
NaN
>> limit (f, x, 5) % Предел при
ans =
2/5
Определение производной
Символьное дифференцирование выполняет функция diff (fun, var, n). Она находит производную функции fun по переменной var, n – порядок производной.
Возможны разные форматы вызова этой функции. Если параметр один – дифференцируемое выражение, то автоматически вычисляется первая производная по символьной переменной, входящей в выражение; если в него входит несколько переменных, то производная вычисляется по той переменной, которая по алфавиту ближе к х.
>> f=sin(x)/x
f =
Sin(x)/x
>> diff (f) % То же самое, что diff (f, x, 1)
ans =
cos(x) / x- sin(x) / x^2
>> diff (f, 2) % Вторая производная
ans =
-sin(x)/x-2*cos(x)/x^2+2*sin(x)/x^3
Пример нахождения производных разных порядков для функции двух переменных
>> syms x y
>> f1=sin(x)-log(y)
f1 =
Sin(x)-log(y)
>> a=diff (f1, x) % Производная 1 порядка по х
a =
cos(x)
>> subs(a, 1.5) % Значение 1 производной при х=1.5
ans =
0.0707
>> diff(f1, x, 2) % Производная 2 порядка по х
ans =
-sin(x)
>> diff (f1, y) % Производная 1 порядка по у
ans =
-1/y
>> b=diff (f1, y, 2) % Производная 2 порядка по у
b =
1/y^2
>> subs (b, 2) % Значение 2 производной при у=2
ans =
0.2500
Вычисление интеграла
Средства символьной обработки дают возможность находить неопределенный и определенный интеграл.
Нахождение неопределенного интеграла функции f(x) сводится к нахождению первообразной функции F(x) в наиболее общем виде , т.е. такой функции, что . Символьное вычисление неопределенного интеграла в ML выполняется с помощью функции int (fun,var), где fun – подынтегральная функция, var – переменная интегриривания. Если параметр var не указан, а в fun несколько переменных, то интеграл вычисляется по переменной, наиболее близкой по алфавиту к х. Например, найдем интеграл от функции sin(x)-log(y)
>> syms x y
>> f1=sin(x)-log(y);
>> int (f1, x) % Интеграл от функции ( sin(x)-log(y)) dx по х
ans =
-cos(x)-log(y)*x
>> int (f1, y) % Интеграл от функции ( sin(x)-log(y))dу по у
ans =
sin(x)*y-y*log(y)+y
Определенный интеграл вычисляются с помощью этой же функции int (), но в обращении к ней добавляются ещё 2 параметра – пределы интегрирования. Найдем интеграл
>> I=int ('tan(z)', 0, pi/4) % Переменную интегрирования не указываем, т.к. она единственная в функции
I =
1/2*log(2)
>> vpa (I, 5) % Результат в вещественном виде
ans =
.34658