Системы счисления
Изучение систем счисления, которые используются в компьютерах, важно для понимания того, каким образом производится обработка числовых данных в ЭВМ.
Система счисления — способ записи чисел с помощью заданного набора специальных символов (цифр) и сопоставления этим записям реальных значений. Все системы счисления можно разделить на непозиционные и позиционные.
Непозиционные системы счисления
В непозиционных системах счисления, которые появились значительно раньше позиционных, смысл каждого символа не зависит от того места, на котором он стоит. Примером такой системы счисления является римская, в которой для записи чисел используются буквы латинского алфавита. При этом буква I всегда означает единицу, буква — V пять, X — десять, L — пятьдесят, C — сто, D — пятьсот, M — тысячу и т.д. Например, число 264 записывается в виде CCLXIV.
Недостатком непозиционных систем является отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, арифметических действий с многозначными числами.
Позиционные системы счисления
В вычислительной технике применяются позиционные системы счисления. Позиционных систем счисления существует множество и отличаются они друг от друга алфавитом — множеством используемых цифр. Размер алфавита (число цифр в нем) называется основанием системы счисления. Последовательная запись символов алфавита (цифр) изображает число. Позиция символа в изображении числа называется разрядом.
Перед математиками и конструкторами в 50-х годах XX столетия встала задача найти такие системы счисления, которые бы отвечали требованиям разработчиков ЭВМ и программного обеспечения. В результате были созданы “машинные” системы счисления:
- двоичная;
- восьмеричная;
- шестнадцатеричная.
Каждая из этих систем использует определенный набор символов языка, которыми записываются данные - символы алфавита.
В двоичной системе счисления их всего два: 0 и 1.
В восьмеричной системе их восемь: 0,1,2,3,4,5,6,7.
В шестнадцатеричной - шестнадцать: арабские цифры 0-9, и символы латинского алфавита от А до F. Причем символ А соответствует 10, В =11 и т.д, F=15.
Каждая система счисления из машинной группы применяется в различных случаях, а именно, двоичная – для организации преобразования информации, восьмеричная и шестнадцатеричная – для представления машинных кодов в удобном виде.
Десятичная система применяется для ввода данных и вывода на устройства печати и на экран дисплея.
Двоичная система счисления
Обработка информации в ПК основа на обмене электрическими сигналами между различными устройствами компьютера. Эти сигналы возникают в определенной последовательности. ПК “различает” два уровня этих сигналов – высокий (1) и низкий (0). Таким образом, любая информация в вычислительной технике представляется как набор (код) двух символов 0 и 1. Каждый такой набор нулей и единиц называется двоичным кодом. Количество информации, кодируемое двоичной цифрой – 0 или 1 – называется битом. Бит является единицей измерения информации.
Двоичная система счисления обладает такими же свойствами, что и десятичная, только для представления чисел используется не 10 цифр, а всего 2. Эта система счисления тоже является позиционной.
Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления
Двоичные числа – длинные последовательности 0 и 1 – очень неудобны для восприятия. В связи с этим двоичные числа стали разбивать на группы по три (триада) или четыре (тетрада) разряда. Из трех нулей и единиц можно составить восемь различных двоичных чисел, а из четырех – шестнадцать. Для кодирования 3 бит требуется 8 цифр, и поэтому взяли цифры от 0 до 7, т.е. в соответствии с определением получили алфавит 8-ной системы счисления.
Восьмеричный алфавит | Двоичное число (триада) |
Для кодирования 4 бит необходимо 16 знаков, для чего используются 10 цифр десятичной системы и 6 первых букв латинского алфавита.
Шестнадцатеричный алфавит | Двоичное число (тетрада) |
A | |
B | |
C | |
D | |
E | |
F |
Представление чисел в различных системах счисления
10-ная | 2-ная | 8-ная | 16-ная | |
A | ||||
B | ||||
C | ||||
D | ||||
E | ||||
F | ||||
Правило перевода из двоичной СС в десятичную
1. Записать число в двоичной форме
2. Умножить каждую цифру двоичного числа на двойку, возведенную в соответствующую степень (степени повышаются на одну единицу справа налево)
3. Сложить полученные результаты и записать число в десятичной системе