Многомерные таблицы Тартальи
Основные классические термины
Треугольник Паскаля (Пингалы, Халаюдхи, Яна Хуэя, Чжу Шицзе, Омара Хайяма и пр.) (отображается либо равнобедренным, либо прямоугольным)
Таблица Тартальи – выпрямленный аналог этого треугольника в прямоугольную форму
Биномиальные коэффициенты получаются при возведении бинома Ньютона (a+b) в натуральную степень и наполняют треугольную и табличную форму…
Определения многомерных таблиц
Я решил начать их определять с нулевой мерности (хотя классика – 2-мерная таблица), математики, не гнушающиеся программирования, поймут доступность сих определений… Многомерные таблицы я буду отображать в виде последовательности плоских слоёв (срезов)
Остановимся пока на 3-х измерениях и познакомимся с классической 2-мерной таблицей Тартальи
Выделенные элементы на диагоналях (i+j)=n – это биномиальные коэффициенты, распишем, как ими пользоваться:
Все многомерные таблицы Тартальи симметричны, что означает возможность поменять местами любые индексы без изменения результата, в частности, в 2-мерной Tart2(i,j)=Tart2(j,i). Это банально следует из определений через факториалы. Таким образом столбцы полностью идентичны строкам и представляют собой фигурные симплекс-числа в пр-ве размерности j. Что есть симплекс? На пальцах это проще объяснить так: на плоскости (пр-ве размерности 2) самой элементарной фигурой, имеющей «внутренность» (площадь) является треугольник, в 3-мерном самой элементарной фигурой имеющей «внутренность» (объём) является – тетраэдр. Числа во 2-м и 3-м столбцах зовутся треугольными и тетраэдральными. Традиционно n-е треугольное число определяется как n*(n+1)/2!, а тетраэдральное как n*(n+1)*(n+2)/3!, однако у меня индексы начинаются с 0, посему 1 (первое треугольное и тетраэдральное число) находится в 0-й строке. Скажем пару слов о визуальном представлении этих чисел:
1. Треугольное представляется набором из точек, где верхняя строка – 1 точка, 2-я – 2 точки, 3-я – 3 точки и т.д. Общее число точек в n строчках и есть n-е треугольное число. Как несложно видеть, оно являет собой сумму арифметической прогрессии от 1 до n.
2. Тетраэдральное представляется набором из треугольных чисел от 1-го треугольного до n-ого треугольного и являет собой их сумму.
В таблице несложно заметить, что " j
Докажем:
Tart2(n,j+1)=Tart2(n-1,j+1)+Tart2(n,j)=
=Tart2(n-2,j+1)+Tart2(n-1,j)+Tart2(n,j)=
=Tart2(n-3,j+1)+Tart2(n-2,j)+Tart2(n-1,j)+Tart2(n,j)=
……..=
=Tart2(0,j+1)+Сумм(i=1…n, Tart2(i,j))
(однако в 0 строке – все 1-цы, посему)=
=Tart2(0,j)+Сумм(i=1…n, Tart2(i,j))=
=Сумм(i=0…n, Tart2(i,j))
А также
Докажем:
Исходя из прошлой формулы Сумм(i=0…j, Tart2(i,j))=Tart2(j,j+1)=Tart2(j+1,j)
Диагональные и ломаннодиагональные таблицы последовательностей
Снова вернёмся к Tart2
Что сейчас отличает выделенные элементы?
1. В жёлтом варианте, переходя на каждый столбец +1, мы выделяем следующий элемент в строке -1;
2. В зелёном – выделяем следующий элемент в строке -2;
3. В голубом – выделяем следующий элемент в строке -3;
Если выделенные элементы просуммировать, то мы получим элементы посл-тей:
1. 2 – элемент последовательности степеней 2-ки (Diag2(n,1));
2. 5 – элемент последовательности Фибоначчи (Diag2(n,2));
3. 19 – элемент последовательности коров Нараяны (Diag2(n,3))
Это Диагональные посл-ти…
Номер числа в них задаётся номером строки элемента в 0-м столбце всех выделенных одним цветом элементов + 1…
Т.е. тут будут 2-й, 5-й и 10-й элементы соответствующих посл-тей.
Чуть опережая определения ломаннодиагональных, дам картинку, где они пересекаются
Обозначу ЛоманноДиагональные на примере 2 столбцов
Если выделенные элементы просуммировать, то мы получим элементы посл-тей:
1. 5 – элемент последовательности BrDiag2(2)(n,1);
2. 24 – элемент последовательности BrDiag2(2)(n,2);
3. 216 – элемент последовательности BrDiag2(2)(n,3);
Что есть красная группа? Симплекс-числа
Что есть сиреневая группа? Рекуррентная формула для n-го члена посл-ти, зависящая от прошлых её элементов
(в формулах участвуют биномиальные коэффициенты, где первые 2 – положительные, а потом знаки чередуются…)
Теперь дам ещё несколько ломаннодиагональныхтаблиц с разным кол-м столбцов