Пределы последовательностей и функций
Контрольная работа по высшей математике
Пределы последовательностей и функций
Числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел. Задать числовую последовательность означает задать закон, по которому можно определить значение любого члена последовательности, зная его порядковый номер п; для этого достаточно знать выражение общего или п-го члена последовательности в виде функции его номера: .
В основе всех положений математического анализа лежит понятие предела числовой последовательности. Число А называется пределом числовой последовательности , если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует такой номер , зависящий от выбранного e, начиная с которого все члены последовательности отличаются от А по модулю меньше, чем на e, т. е.
при .
Если последовательность имеет предел А, то она называется сходящейся (к числу А) и этот факт записывают следующим образом:
.
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Выберем в некоторой окрестности этой точки какую-нибудь последовательность сходящуюся к точке : . Значения функции в выбранных точках образуют последовательность , и можно ставить вопрос о существовании предела этой последовательности.
Число А называется пределом функции в точке , если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента, отличных от , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А, т. е.
.
Возможно иное определение предела функции в точке: число А называется пределом функции при , если для всякого положительного числа e можно указать другое положительное число d (зависящее от выбора e) такое, что абсолютная величина разности будет меньше e, когда абсолютная величина разности будет меньше , но больше нуля
, если при .
Таким образом, первое определение предела функции основано на понятии предела числовой последовательности, и его называют определением на «языке последовательностей». Второе определение носит название «на языке ».
Кроме понятия предела функции в точке, существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности: число А называется пределом функции при , если для любого числа существует такое число d, что при всех справедливо неравенство : .
Теоремы о пределах функций являются базой для общих правил нахождения пределов функций. Можно показать, что арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке , приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке.
Примеры
Найти предел функции
Решение: Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель , который при не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.
Производная и дифференциал
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .
Производной функции в точке называется предел отношения , когда (если этот предел существует). Производная функции в точке обозначается
.
Например, выражение следует понимать как производную функции в точке .
Определение производной можно записать в виде формулы
. (4.1)
Предел (4.1) может не существовать. В этом случае говорят, что функция не имеет производной в точке . Если предел (4.1) равен , то говорят, что функция имеет в точке бесконечную производную.
В различных задачах (в том числе и экономических) производная функции интерпретируется как скорость изменения величины y относительно x. Геометрический смысл производной состоит в том, что – это тангенс угла наклона касательной к графику в точке .
Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.
Укажем правила дифференцирования, которые сводят вычисление производных одних функций к вычислению производных других (более простых) функций.
Если функции дифференцируемы в точке , то сумма, разность, произведение и частное этих функций также дифференцируемы в точке , и справедливы следующие формулы
.
Если функция имеет обратную функцию и в точке производная , то обратная функция дифференцируема в точке и или .
Если функция дифференцируема в точке и , то сложная функция также дифференцируема в и верна следующая формула
или .
Пример.
Найти производную функции
Решение:
3 Геометрические изложения и дифференцированные исчисления (построение графиков)
Функция , определенная во всех точках промежутка , называется возрастающей (убывающей) в этом промежутке, если для любых двух значений аргумента, принадлежащих этому промежутку, большему из них соответствует большее (меньшее) значение функции, т. е,
если то при
– возрастающая, – убывающая.
Из данного определения вытекает, что для возрастающей функции приращения аргумента и функции имеет один и тот же знак, в силу чего их отношение положительно: . Для убывающей функции эти приращения имеют разные знаки, в силу чего . Те значения аргумента, при которых функция достигает своих наибольших и наименьших по сравнению с близкими значений, называются точками максимума и минимума (точками экстремума).
Точка называется точкой максимума (минимума) непрерывной функции , а значение называется максимумом (минимумом) этой функции, если существует некоторая окрестность точки такая, что значение функции в любой точке этой окрестности будет меньше (больше), чем ее значение в самой точке , т. е. меньше (больше), чем максимум (минимум) (рис. 1).
у max у
min
f(х0) f(х0)
О х0–d х0 х0+d х О х0–d х0 х0+d х
точка максимума | точка минимума |
Рис. 1
Из определений точек экстремума следует, что вне d-окрестности точки экстремума поведение функции произвольно, т. е. понятия максимума и минимума функции носят характер локальных (местных), а не абсолютных понятий.
Чтобы установить признаки возрастания и убывания и признаки экстремума функций, рассмотрим ряд важных теорем математического анализа, на которые опираются все дальнейшие исследования функций.
Рекомендуется исследование функций проводить в определенной последовательности.
1. Найти область определения функции; точки разрыва и их характер; вертикальные асимптоты графика.
2. Определить возможный тип симметрии функции (четность, нечетность функции); точки пересечения графика функции с осями координат, т. е. решить уравнения и .