Мы будем использовать понятие интервала. Пусть - действительные числа, . Рассмотрим определения различных интервалов.
- открытый интервал;
- замкнутый интервал.
Полуоткрытые (полузамкнутые) интервалы:
- интервал, открытый слева и замкнутый справа;
- интервал, открытый справа и замкнутый слева.
Полубесконечные интервалы:
, , , .
Напомним, что - это множество всех действительных чисел.
Пусть - действительное число, - положительное число. Открытый интервал называется - окрестностью числа . Окрестностью числа называется множество, которое содержит некоторую -окрестность этого числа.
Рассмотрим функцию y = f (x), x Î X и пусть x 1 Î X и x 2 Î X, причем x 1< x 2, тогда функция называется: монотонно возрастающей, если f (x 1) < f (x 2), монотонно убывающей, если f (x 1) > f (x 2), неубывающей, если f (x 1) £ f (x 2), невозрастающей, если f (x 1) ³ f (x 2).
Число A называется пределом функцииf (x) при x стремящемся к a, если при любом e > 0 существует такая окрестность точки a, что для любого x ¹ a из этой окрестности выполняется
Если A является пределом функции в точке а, т.е. при , то это записывается так:
или .
Предел постоянной функции в любой точке равен этой же постоянной.
Если функция f (x) имеет предел при x, стремящемся к a, то этот предел единственен.
Теоремы о пределах функции: Если при x ® a существуют пределы функций f (x) и g (x), то существуют также и пределы их суммы, произведения, частного в точке a, причем:
Следствие. Постоянный множитель можно вынести за знак предела:
.
Пример. Вычислить пределы:
1) ,
2) .
Функция y = f (x) называется бесконечно большой в точке a, если
, аналогично определяется, если , т.е.
Функция y = f (x) называется бесконечно малой в точке a, если , аналогично .
Очевидно, что если f (x) – бесконечно большая функция при x ® a, то функция - бесконечно малая при x ® a.
При решении конкретных задач в отсутствии неопределённостей пользуются таблицами наиболее часто встречающихся пределов, значения которых много раз проверены:
1) ,
2) ,
3) ,
4) ,
5) , где с = const,
6) .
Бесконечно малые и бесконечно большие функции обладают свойствами:
Сумма, разность, произведение конечного числа бесконечно малых функций при также является бесконечно малыми функциями при .
Пример. Функция является бесконечно малой в точке , т.к. . А функция является бесконечно малой при , так как и бесконечно большой при x=1 так как .
Если и – б.м. величины при , то выражение при называется неопределенностью вида , если же и – б.б. величины при , то выражение при называется неопределенностью вида , а выражение – неопределённостью вида .
Раскрытие неопределенностей.
Раскрыть неопределённость – значит найти предел соответствующего выражения, если он $. Для раскрытия неопределённости используют следующие приемы, если функциональное соответствие представляет собой отношение двух многочленов ,и , то следует числитель и знаменатель разделить на , где .
Пример. Вычислить предел