ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 6.
Найти область определения заданных функций.
1. Здесь имеем систему двух неравенств
Тогда
2. Представим эту функцию в виде
Отсюда видим, что Областью определения будет
3.
Это можно представить как Совместной системой двух неравенств будет
Тогда получим, что
4. В этом случае аргумент логарифма должен быть строго положительным. Следовательно,
Отсюда получим, что
5. Аргумент арксинуса меняется от -1 до +1. Тогда Это представим как
Исследовать заданные функции на четность и нечетность
1. Обозначим Это условие выполняется для четных функций. Исходная функция есть гиперболический косинус, ее график симметричен относительно оси ОУ.
2. Сформируем
Видим, что Следовательно, данная функция является нечетной.
3. У этой функции существует четная часть и нечетная Она не является ни четной, ни нечетной, говорят, что это функция общего вида.
Исследовать функции на периодичность
Если функция f(x) имеет период Т, то выполняется равенство f(x+T)=f(x).
1. f(x)= sin5x+4cos3x. Поскольку здесь
f(x+2π)=sin5(x+2π)+4cos3(x+2π)=sin(5x+10π)+
4cos(3x+6π)=sin5x+4cos3x=f(x), то данная функция является периодической и имеет период T=2π.
2. График этой функции повторяется через
π, поэтому проверим равенство
Таким образом, изучаемая функция периодическая с периодом π.
3. Возьмем значит, функция периодическая с периодом π.
4. Поскольку здесь то данная функция не является периодической.
Методы построения графиков функций
1. В системе координат ХУ с центром в точке О дан график функции y=f(x). Требуется построить график функции y-b=f(x-a). Берем систему координат X’Y’
с центром в точке O’(a,b) и повторяем в ней исходный график.
Пример. Построить график параболы
Выделяем полный квадрат по х:
Здесь т. это также есть вершина параболы.
В штрихованной системе координат уравнение имеет вид: График параболы ветвями направлен вверх. При x=0, x=4 получим y=1, это будут дополнительные точки. По трем точкам проводим график.
По этому принципу постройте графики функций:
2. Известны графики функций
Требуется найти графики функций
Здесь в первом случае соответствующие ординаты складываем, а во втором – перемножаем.
Например, так строится график функции
В этом случае первая часть есть парабола, а вторая – гипербола. Строим оба графика и при одинаковых х ординаты складываем.
3. Графики с модулем.
Функция является четной. Строим график функции и отображаем влево относительно оси ОУ.
Пример. Постройте график функции При
строим график функции y=x-1 и отображаем влево.
Пусть известен график функции y=f(x) и требуется построить график функции Здесь правая часть положительная и поэтому положительную часть графика не меняем, а отрицательную - отображаем наверх.
Пример. Постройте график функции Здесь график для y=x-1 положительный только при .
Отрицательную часть отображаем наверх относительно оси ОХ.
Пример. Используете оба правила для построения графика функции
4. Построение графиков в полярной системе координат.Здесь
Пример. Это запишем как Возведем это равенство в квадрат: Это есть окружность с радиусом 4.
Пример. Это равенство умножим на
Тогда
Это есть окружность с радиусом 1 и с центром в точке (1,0).
Пример. Составим таблицу
π | ||||||
На лучах отложим значения , получим точки. Соединяя их, начертим график кардиоиды.