Пусть функция определена на некотором интервале . Осуществим следующие операции:
- аргументу дадим приращение : ;
- найдем приращение функции ;
- составим отношение приращения функции к аргументу ;
- найдем предел этого отношения при : .
Определение 3.
Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
. (4)
Замечание!
Производная функции есть некоторая функция , произведенная из данной функции.
Определение 4.
Функция , имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой в этом интервале, а операция нахождения производной функции называется дифференцированием.
Значение производной функции в точке обозначается одним из символов или .
ПРИМЕР 1.
Найти производную функции .
Решение:
- аргументу дадим приращение ;
- приращение функции ;
- составим отношение ;
- найдем предел , т. е. .
ПРИМЕР 2. Найти производную функции .
Решение:
- аргументу дадим приращение ;
- найдем соответствующее приращение функции ;
- составим отношение ;
- найдем или .
Вернемся к перемещению точки. Было получено .
Скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная от пути по времени. В этом заключается физический смысл производной.
Другими словами, производная показывает, во сколько раз быстрее возрастает значение функции по отношению к росту переменной, или какова мгновенная скорость протекания процесса, описываемого некоторой функцией.
Вернемся к задаче с касательной к кривой. Был найден угловой коэффициент касательной .
Замечание!
То есть производная в точке x равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абсцисса которой, равна x. В этом заключается геометрический смысл производной.
2.2. Уравнение касательной и нормали к кривой
Если точка касания M имеет координаты (рис. 4), то угловой коэффициент касательной есть . Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении
. (5)
Определение 2.
Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.
Нормаль перпендикулярна касательной, то ее угловой коэффициент
. (6)
Поэтому уравнение нормали будет иметь вид (при )
. (7)
Теорема 1.
Если имеет предел А, то ее можно представить как сумму числа А и БМВ, т. е. , то .
Теорема 2.
Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.
Доказательство.
Пусть функция дифференцируема в некоторой точке x. Следовательно, существует предел . Отсюда имеем , где при , то есть . Переходя к пределу при , получаем . Это означает, что функция непрерывна в точке x.
Замечание!
Обратная теорема не верна. Непрерывная функция может не иметь производной. Пример: в точке (рис. 5).
Замечание!
Производная непрерывной функции сама необязательно является непрерывной.
Определение 3.
Если функция имеет непрерывную производную на некотором интервале , то функция называется гладкой.
Заключение
Отметим наиболее важные моменты:
- производная непрерывной функции необязательно непрерывна;
- если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней;
- функция, дифференцируемая в некоторой точке, не обязательно непрерывна;
- тангенс угла наклона определяет уравнение касательной и нормали к кривой.
Литература
1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 1980. – 384 с.
2. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики. – М.: Астрель, 2001. - 656 с.
Лекция 7. Правила дифференцирования функции
Цель лекции: изучить правила дифференцирования функций; научиться применять эти правила при решении прикладных задач.
План лекции