Рассмотрим прямые {y=0, z=1} и {y=0, Z=0} в R3 и выберем по m точек на каждой из этих линий с абсциссами – натуральными числами от 1 до m.
Определение косы как набора кусочно-гладких путей удобно для определения умножения в группе кос.
Две косы В0 и В1 называются равными, если они изотопны, т.е. если существует непрерывное семейство кос Вt, {t ∈ [0,1]}, начинающиеся с косы В0 и заканчивающееся косой В1.
Множество всех кос из m нитей имеет структуру группы.
Произведение АВ двух кос А и В является приставление косы В снизу косе А и изменение масштаба вдоль координаты z так, чтобы концы кос совпадали с фиксированными наборами точек.
Единичным элементом группы кос является коса, которая представлена вертикальными линиями, параллельными друг другу.
Крашеные косы – это косы, каждая нить которых соединяют точки с одинаковыми абсциссами.
Топологическое определение
Пусть Х топологическое пространство.
Неупорядоченным m-конфигурационным пространством для Х называется пространство всех подмножеств из m попарно различных точек пространства Х.
Обозначается: В(Х,m).
Упорядоченное m-конфигурационное пространство состоит из всех упорядоченных наборов m различных точек.
Обозначается:F(X,m).
Пусть Х=R С1.
Группа кос из m нитей есть группа, изоморфная фундаментальной группе π1(В(Х,m)).
Группа π1(F(Х,m)) называется группой крашеных кос из m нитей.
Алгебраическое определение.
Группа кос из m нитей есть группа, заданная (m-1) образующими
σ1 ,…, σm-1 и соотношениями:
σi σj= σj σi при │i-j│≥ 2(дальняя коммутативность)
σi σi+1σi = σi+1σi σi+1 при 1 ≤ i ≤ m−2
Образующие группы кос
Как и перестановки, косы из фиксированного числа нитей, рассматриваемые с точностью до изотопии, обладают естественной структурой группы.
У нас есть две косы A и B каждая из n нитей. Определим произведение кос AB как косу, получаемую сжиманием кос A и B по вертикали и расположением косы A над косой B (рис.17)
Рис.17
Очевидно, что определенное таким образом умножение кос ассоциативно.
Косы образуют 3 группу:
1)умножение;
2)единичная коса;
3)взятие обратного.
При умножении кос перемножаются соответствующие им перестановки. В качестве единичной косы можно взять косу, состоящую из вертикальных параллельных нитей (рис. 18)
Рис.18
В качестве косы, обратной заданной, можно рассмотреть зеркальное отражение относительно горизонтальной прямой. (рис.19)
Другими словами, произведение косы A и ее зеркального отражения A′ изотопно единичной косе.
Это зеркальное отражение обращает перестановку, соответствующую косе, т.е. взятию обратной для некоторой косы соответствует взятие обратной для ее перестановки. Обе операции (умножение и взятие обратного) инвариантны относительно изотопии, т.е. если коса A1 изотопна косе A2, а коса B1 - косе B2, то произведение кос A1·B1 изотопно произведению кос A2·B2, а обратная коса A1-1 - обратной косе A2-1.
Для каждого натурального числа n мы построили группу кос из n нитей, которую мы обозначим через Br(n). В этой группе изотопные косы считаются одинаковыми.
Опишем теперь некоторый набор образующих группы кос. Как и в случае с перестановками, где в качестве образующих можно взять транспозиции соседних элементов, в качестве образующих группы кос можно взять такие косы, которые переставляют два соседних элемента j, j + 1, где j - натуральное число от 1 до n − 1. При этом в отличие от группы перестановок нити можно переставить двумя разными способами, т.е. выбирая, какая нить идет ближе, а какая - дальше. На рис. 19а эта перестановка обозначается через σi. На рис. 19б, никакого специального обозначения вводить не надо, так как эта коса является обратной к косе σi, и ее следует обозначать через σi-1.
Рис.19