КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Двойной интеграл в прямоугольных координатах
Пусть в ограниченной замкнутой области D на плоскости Oxy определена непрерывная функция z = f(x,y). Разобьем область D на n областей с площадями D Si, в каждой из них выберем произвольную точку (xi, yi) и составим интегральную сумму . Предел этой суммы при неограниченном увеличении числа областей разбиения и при стремлении диаметра наибольшей области max di к нулю называется двойным интегралом от функции z = f(x,y) по области D:
.
Элементарная площадь dS в декартовых координатах dS = dxdy`.
Для вычисления двойного интеграла важное значение имеет вид области D.
a) б)
y y
y=j2(x) I II
d
|
|
A в x 0 x
Рис. 1.
Если область D может быть задана так, как показано на рис.1.а, двойной интеграл вычисляется по формуле
. (1)
Если область D имеет вид такой, как показано на рис.1.б, двойной интеграл вычисляется по формуле
(2)
В более сложных случаях область D разбивают на простые области типа I и II и пользуются свойством аддитивности двойного интеграла:
если D = D1 + D2, то .
Двойной интеграл в полярных координатах
Переход от прямоугольных декартовых координат к полярным выполняется по формулам
, (3)
при условии, что полюс помещен в начале координат и полярная ось направлена вдоль оси Ox. Элемент площади в полярных координатах имеет вид:
dS = rdrdj.
Рис. 2.
Если область D задана так, как показано на рис.2 (j1 £ j £ j2,, r1(j) £ r £ r2(j)), то переход к полярным координатам в двойном интеграле выполняется по формуле:
. (4)
Если область D охватывает начало координат, в (4) надо положить r1(j) = 0.
Приложения двойных интегралов
Площадь плоской области D на плоскости Oxy вычисляется по формуле:
. (5)
Если D - плоская пластинка, лежащая в плоскости Oxy, с поверхностной плотностью , то массу пластинки находят по формуле
. (6)
Пример 1: С помощью двойного интеграла вычислить площадь области, ограниченной линиями y = x2 - 1 и y = 2.
|
-1 0 1 x
Pис. 3.
Спроектируем область D на ось Oy и воспользуемся для вычисления
двойного интеграла формулой (13):
.
Тогда площадь всей области D равна S = 2S1 =4 .
Ответ: S = 4 .
g
Пример 2. Вычислить площадь плоской области, ограниченной кривой .
Решение: Введем полярные координаты (14), тогда уравнение кривой примет вид или .
Область D показана на рис. 4.
y
|
|
Рис. 4.
Эта область симметрична относительно оси, поэтому достаточно вычислить площадь верхней половины области D и результат удвоить. Для верхней половины угол j меняется от 0 до p / 2, а r меняется от 0 до ,
поэтомy
Ответ: Площадь всей области (кв.ед.).
g
Пример 3: С помощью двойного интеграла вычислить массу плоской пластинки, ограниченной линиями , , с заданной плотностью .
Решение: Построим область D (рис.6).
D
Рис. 5
Эта область ограничена двумя параболами. Проекцией области на ось Ох является отрезок [ 0; 1 ]. Массу пластинки найдем по формуле (17), вычисляя
двойной интеграл по формуле (1):
Ответ: ед. массы.
g
Пример 4. Вычислить массу плоской пластинки, ограниченной линиями
Поверхностная плотность
Решение: Построим область D. Уравнение является уравнением окружности с центром в точке (2; 0) и радиусом 2. Уравнение является уравнением окружности с центром в точке (3; 0) и радиусом 3. Уравнения задают прямые линии (см. рис.6).
При вычислении массы пластинки по формуле (6) перейдем к полярным координатам (3). Тогда уравнения границ области D примут вид:
Поверхностная плотность в полярных координатах
|
|
|
|
|
|
Рис.6
Тогда масса пластинки равна
Oтвет: 19 ед. массы.