Определение числового ряда и его сходимости.
Необходимый признак сходимости
Пусть – бесконечная последовательность чисел.
Определение. Выражение
, (1)
или, что то же самое, , называется числовым рядом, а числа
– членами ряда. Член с произвольным номером называется n -м, или общим членом ряда.
Само по себе выражение (1) никакого определенного числового смысла не имеет, потому что, вычисляя сумму, мы каждый раз имеем дело лишь с конечным числом слагаемых. Определить смысл этого выражения наиболее естественно следующим образом.
Пусть дан ряд (1).
Определение. Сумма n первых членов ряда
называется n -й частичной суммой ряда. Образуем последовательность частичных сумм:
С неограниченным увеличением числа n в сумме учитывается все большее число членов ряда. Поэтому разумно дать такое определение.
Определение. Если при существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда (1), то ряд называется сходящимся и число называется его суммой.
Если последовательность не стремится к пределу, то ряд называется расходящимся. Отметим, что ряд может расходиться в двух случаях: 1) если , 2) если колеблющаяся. В обоих случаях говорят, что ряд суммы не имеет.
Пример 1. Рассмотрим ряд, составленный из членов геометрической прогрессии:
, (2)
где – называется первым членом прогрессии, а – ее знаменателем.
Частичная сумма этого ряда при имеет вид
.
Отсюда:
1) если , то
,
т.е. ряд геометрической прогрессии сходится и его сумма .
В частности, если , ряд сходится и его сумма .
При ряд также сходится и его сумма .
2) если , то , т.е. ряд (2) расходится.
3) если , то ряд (2) принимает вид . В этом случае
и , т.е. ряд расходится (при ).
4) если , то ряд (2) принимает вид . Для этого ряда
, а ,
т.е. является колеблющейся и не существует, следовательно, ряд также расходится (при ).
Вычисление суммы ряда непосредственно по определению очень неудобно из-за трудности явного вычисления частичных сумм и нахождения предела их последовательности. Но, если установлено, что ряд сходится, его сумму можно вычислить приближенно, т.к. из определения предела последовательности следует, что при достаточно больших . Поэтому при исследовании рядов достаточно
1) знать приемы, позволяющие констатировать сходимость ряда без нахождения его суммы;
2) уметь определить , при котором частичная сумма приближает сумму ряда с определенной точностью.
Сходимость числовых рядов устанавливается с помощью теорем, которые называются признаками сходимости.
Необходимый признак сходимости
Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е. .
Отсюда следует, что если не равен нулю, то ряд расходится.
Пример 2. Доказать, что ряд расходится, если
а) | ; | б) | ; |
в) | ; | г) | . |
Решение.
а) (методы вычисления пределов последовательностей, см., например, в [5]). Поэтому ряд расходится.
б)
и поэтому ряд расходится. При решении использовался второй замечательный
предел: (подробнее см. [5]).
в) , т.е. последовательность – бесконечно
малая. Так как при ~ (см. [5]), то ~ .
Учитывая это, получим:
,
значит, ряд расходится.
г) ,
следовательно, ряд расходится.
Условие является необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда: существует множество рядов, для которых , но которые тем не менее расходятся.
Пример 3. Исследовать сходимость ряда .
Решение. Заметим, что = , т.е. необходимое условие сходимости выполнено. Частичная сумма
,
– раз
поэтому , а это значит, что ряд расходится по определению.
Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
Пусть . Тогда ряд будем называть знакоположительным. Сформулируем некоторые достаточные условия сходимости таких рядов.
Признак сравнения
Пусть и – знакоположительные ряды. Если для всех выполняется неравенство , то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .
Этот признак остается в силе, если неравенство выполняется не при всех , а лишь начиная с некоторого номера . Его можно проинтерпретировать следующим образом: если больший ряд сходится, то меньший тем более сходится; если расходится меньший ряд, то больший также расходится.
Пример 4. Исследовать сходимость ряда , если
а) | ; | б) | ; |
Решение.
а) Заметим, что для всех . Ряд с общим членом сходится, т.к. является рядом геометрической прогрессии со знаменателем (см. пример 1), поэтому данный ряд сходится по признаку сравнения.
б) Сравним ряд с рядом . Очевидно, что для всех , поэтому . В примере 3 было доказано, что ряд с общим членом расходится, значит, данный ряд также расходится.
Несмотря на простоту формулировки признака сравнения, на практике более удобна следующая теорема, являющаяся его следствием.