Неопределенный интеграл.
- Первообразная функции. Свойства.
- Неопределенный интеграл и его основные свойства (доказательство).
- Таблица основных неопределенных интегралов (доказательство).
- Основные методы интегрирования: метод разложения, интегрирование заменой переменных, интегрирование по частям (доказательство).
- Алгебраические многочлены и их корни.
- Разложение правильной рациональной дроби на простейшие.
- Интегрирование простейших рациональных дробей.
- Рациональные функции двух переменных, свойства.
- Интегрирование в элементарных функциях тригонометрических выражений. Универсальная тригонометрическая подстановка.
- Интегрирование дробно-линейных иррациональностей
- Интегрирование биномиальных дифференциалов.
- Интегрирование квадратичных иррациональностей. Подстановки Эйлера.
Определенный интеграл.
- Интегральные суммы. Интегрируемость.
- Необходимое условие интегрируемости функции (доказательство).
- Верхние и нижние суммы Дарбу. Свойства (доказательство).
- Нижний и верхний интегралы Дарбу.
- Критерий интегрируемости ограниченной функции (доказательство).
- Множества меры нуль. Критерий Лебега интегрируемости функции.
- Классы интегрируемых функций: интегрируемость непрерывных функций, интегрируемость монотонных ограниченных функций (1 доказательство).
- Основные свойства определенного интеграла (21 свойство) (доказательство).
- Интеграл с переменным верхним пределом. Свойства.
- Формула Ньютона-Лейбница (доказательство).
- Основные методы интегрирования: метод разложения, замена переменной в интеграле Римана, интегрирование по частям.
Геометрические и физические приложения определенного интеграла.
- Плоская кривая. Понятие спрямляемой кривой. Длина кривой. Свойства.
Пример неспрямляемой кривой.
- Формула вычисления длины кривой.
- Пространственная кривая. Длина пространственной кривой.
- Плоская фигура. Понятие квадрируемой плоской фигуры. Критерий.
- Площадь криволинейной трапеции. Площадь криволинейного сектора.
- Понятия кубируемости и объема. Объем тела, полученного вращением вокруг осей ОХ, ОY. Объем тела по площади поперечного сечения.
- Площадь поверхности вращения вокруг оси ОХ.
- Физические приложения определенного интеграла.
Несобственные интегралы.
- Несобственный интеграл первого рода (НИ-1). Определения, примеры.
- Критерий Коши сходимости НИ-1 (доказательство).
- Замена переменных в НИ-1. Интегрирование по частям.
- Понятия абсолютной и условной сходимостей НИ-1.
- Теорема о сходимости абсолютно сходящегося НИ-1 (доказательство).
- Признак Вейерштрасса сходимости НИ-1 (доказательство).
- Признаки Дирихле и Абеля сходимости НИ-1 (доказательство).
- Несобственный интеграл второго рода (НИ-2). Определения, примеры.
- Критерий Коши сходимости НИ-2 (доказательство).
- Признак Вейерштрасса сходимости НИ-2 (доказательство).
Числовые ряды.
- Понятие числового ряда (ЧР). Частичная сумма ряда. Понятие сходящегося ЧР. Остаток ряда.
- Необходимый признак сходимости ЧР (доказательство).
- Теорема о сходимости ряда, полученного отбрасывание конечного числа членов сходящегося ряда (доказательство).
- Критерий Коши сходимости ЧР (доказательство).
- Основные свойства сходящихся рядов.
- Теорема Коши о рядах с монотонными элементами.
- Сходимость обобщенного гармонического ряда.
- Признаки сравнения для рядов с положительными членами (3 признака сравнения, радикальный признак Коши, признак Даламбера, интегральный признак Коши) (доказательство).
- Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Примеры. Остаток ряда сходящегося знакочередующегося ряда (доказательство).
- Лемма о постоянной Эйлера.
- Вычисление суммы ряда Лейбница.
- Знакопеременные ряды. Понятия абсолютной и условной сходимостей ЧР.
- Достаточный признак сходимости знакопеременного ЧР (доказательство).
- Теоремы о зависимости суммы ряда от порядка суммирования.
- Признаки Дирихле и Абеля сходимости ЧР с положительными членами (доказательство).
Функциональные последовательности и ряды (ФП, ФР).
- Определения ФП и ФР. Поточечная сходимость ФП и ФР. Область сходимости.
- Равномерная сходимость ФП. Примеры.
- Критерий Коши равномерной сходимости ФП.
- Теорема о непрерывности предельной функции (доказательство).
- Теорема об интегрируемости предельной функции (доказательство).
- Теорема о дифференцируемости предельной функции (доказательство).
- Равномерная сходимость ФР. Примеры.
- Критерий Коши равномерной сходимости ФР (доказательство).
- Достаточные признаки равномерной сходимости ФР (признак Вейерштрасса, признаки Дирихле и Абеля) (доказательство).
- Свойства равномерно сходящихся ФР: почленный переход к пределу, непрерывность суммы ряда (доказательство).
- Почленное интегрирование ФР.
- Почленное дифференцирование ФР.
Степенные ряды.
- Понятие степенного ряда. Радиус сходимости степенного ряда.
- Теорема Абеля (доказательство).
- Формула вычисления радиуса сходимости степенного ряда.
- Теорема о равномерной сходимости степенного ряда на отрезке (доказательство).
- Основные свойства степенного ряда (непрерывность суммы, почленное интегрирование и дифференцирование).
- Суммирование степенных рядов (доказательство).
- Разложение функций в степенные ряды.
- Ряд Тейлора функции. Критерий сходимости ряда Тейлора функции f к функции f (доказательство).
- Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора.