Практика 12. Линии второго порядка
Знать: определение линии второго порядка на плоскости, окружности, эллипса, гиперболы, параболы; уравнения линий 2-го порядка, их свойства и алгоритмы построения.
Уметь: выводить уравнения линий 2-го порядка и строить их по данным уравнениям; находить уравнения касательных, асимптот и директрис этих линий.
Проверочная работа по теме: «Аналитическая геометрия на плоскости»
Даны вершины треугольника А(2;-2), В(3;5), С(6;1). Найти: | ||
1 вар. | 1. Общее уравнение прямой, на которой лежит высота, проведенная из точки В. | 2. Длину медианы АМ. |
2 вар. | 1. Общее уравнение прямой, на которой лежит медиана, проведенная из точки А. | 2. Длину высоты ВК. |
Решение проверочной работы:
1 вариант | |
1. 4(x-3)+3(y-5)=0 4x+3y-27=0 Ответ: 4х+3у-27=0 | 2. M(4,5;3) AM= Ответ: АМ= |
2 вариант | |
1. М(4,5; 3) Ответ: 2х-у-6=0 | 2. АС: Ответ: 5 |
Работа в аудитории:
1.3. Найти координаты центра и радиус окружности . | 1.4. Написать уравнение окружности, проходящей через точки (-1;3), (0;2), (1;-1). | 1.5. Написать уравнения касательных к окружности , проведенных из точки М(0;3). |
2.3. Найти оси, центр и эксцентриситет эллипса, заданного уравнением . Построить этот эллипс. | 2.4. Составить уравнение эллипса, проходящего через точки и . | 2.5. Найти уравнение касательной к эллипсу , перпендикулярной прямой . |
3.3. Дано уравнение гиперболы . Найти длины ее полуосей, координаты фокусов, эксцентриситет и уравнения асимптот гиперболы. | 3.4. Найти уравнение гиперболы, фокусы которой находятся в точках и , а длина мнимой оси равна 6. Построить эту гиперболу. | 3.5. Найти угол между асимптотами гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2. |
4.3. Дана парабола . Найти координаты ее фокуса и уравнение директрисы. | 4.4. Найти вершину, фокус и директрису параболы , построить эскиз графика. | 4.5. При каких значениях прямая касается параболы . |
5. Установить тип кривой и сделать эскиз линии: | ||
5.3. . | 5.4. . | 5.5. . |
Решения:
1.3. Найти координаты центра и радиус окружности .
Ответ: С(2; -3), R=4.
1.4. Написать уравнение окружности, проходящей через точки (-1;3), (0;2), (1;-1).
Пусть (х0, у0) – координаты центра окружности, а r – ее радиус, тогда
Ответ: (-4; -1), r=5.
1.5. Написать уравнения касательных к окружности , проведенных из точки М(0;3).
Пусть касательные имеют уравнения в виде . Т.к. она проходит через М(0;3), то .
Уравнение окружности запишем в виде .
Тогда система уравнений имеет одно решение.
Или уравнение имеет один корень.
Квадратное уравнение имеет один корень, если D=0.
или .
Ответ: или .
2.3. Найти оси, центр и эксцентриситет эллипса, заданного уравнением . Построить этот эллипс.
Это уравнение эллипса с центром в точке (1; -2), осями и , эксцентриситетом , т.к. .
Ответ: центр (1; -2), оси и , эксцентриситет .
2.4. Составить уравнение эллипса, проходящего через точки и .
Пусть уравнение эллипса имеет вид .
Т.к. эллипс проходит через точку , то .
Т.к. эллипс проходит через точку , то .
Составим и решим систему
Ответ: .
2.5. Найти уравнение касательной к эллипсу , перпендикулярной прямой .
Пусть уравнение касательной прямой имеет вид , т.к. искомая прямая перпендикулярна прямой , то имеет вид .
Т.к. прямая и эллипс касаются, то система имеет одно решение. Или т.к. , то уравнение имеет один корень.
Квадратное уравнение имеет один корень, если .
Ответ: или .
3.3. Дано уравнение гиперболы . Найти длины ее полуосей, координаты фокусов, эксцентриситет и уравнения асимптот гиперболы.
Приведем данное уравнение к каноническому .
Тогда ее полуоси равны и .
Найдем . Значит, фокусы имеют координаты и .
Вычислим эксцентриситет .
Найдем уравнения асимптот .
Ответ: полуоси и , фокусы и , эксцентриситет , уравнения асимптот .
3.4. Найти уравнение гиперболы, фокусы которой находятся в точках и , а длина мнимой оси равна 6. Построить эту гиперболу.
Т.к. фокусы и лежат на прямой , то гипербола имеет вид .
Длина мнимой оси гиперболы равна 6, значит, .
Расстояние между и равно .
Вычислим .
Центр гиперболы является серединой отрезка . Значит, .
Таким образом, уравнение искомой гиперболы .
Ответ: .
3.5. Найти угол между асимптотами гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2.
.
Тогда асимптоты имеют уравнения .
Найдем угол между этими прямыми .
Ответ: .
4.3. Дана парабола . Найти координаты ее фокуса и уравнение директрисы.
Сравнивая данное уравнение параболы с каноническим уравнением вида , заключаем, что - фокус параболы, а - уравнение директрисы.
Ответ: - фокус параболы, - уравнение директрисы.
4.4. Найти вершину, фокус и директрису параболы , построить эскиз графика.
Преобразуем данное уравнение параболы к каноническому:
Значит, вершина имеет координаты (2;3). Т.к. и прямая является осью симметрии, то фокус имеет координаты , а директриса имеет уравнение .
Ответ: (2;3) – вершина параболы, - ее фокус, - уравнение директрисы.
4.5. При каких значениях прямая касается параболы .
Прямая касается параболы , если система имеет единственное решение или уравнение имеет один корень.
Квадратное уравнение имеет один корень, если его .
Ответ: при .
5.3. .
Преобразуем данное уравнение:
Эта система задает часть параболы, находящуюся под прямой . Парабола имеет вершину (1;3) и ее ветви направлены вправо.
5.4. .
Эта система задает часть эллипса, находящегося правее прямой . Эллипс имеет центр (0;-1) и полуоси и .
5.5. .
Эта система задает часть гиперболы, расположенную под прямой . Гипербола имеет центр (0;0) и полуоси и .