Рассмотрим тонкую пластину толщиной 2h (рис. 9.1), нагруженную только по ее контуру поверхностными силами t1 и t2, симметричными относительно срединной плоскости пластины, с которой совмещена координатная плоскость Ох1х2. При таком нагружении пластины в ее внутренних точках все компоненты тензора напряжений, вообще говоря, будут отличны от нуля и должны удовлетворять трем однородным уравнениям равновесия (принимается, что массовые силы f1 = f2 = f3= 0):
(9.1)
(9.2)
Однако по условию нагружения на торцовых плоскостях пластины,
т. е. во всех точках (х1, х2, ± h), должно быть
(9.3)
Отсюда, в частности, следует, что во всех точках (х1, х2 ± h)
(9.4)
поэтому из уравнения равновесия (9.2) для этих точек получим
(9.5)
Рис.9.1
По формуле Тейлора разложим функцию (х1, х2, х3)в ряд по х3, при фиксированных значениях х1 и х2:
(х1, х2, х3)=
Учитывая (9.3) и (9.5), имеем
(х1, х2, х3)= (9.6)
Следовательно, для тонкой пластины компонента весьма мала и с достаточным приближением можно считать = 0 во всех точках пластины.
Остальные компоненты тензора напряжений представим их средними значениями по формуле
(9.7)
По условию, пластина нагружена симметрично относительно ее срединной плоскости, поэтому компоненты — четные функции относительно x3 компоненты и — нечетные. Отсюда вытекает, что средние значения компонент и равны нулю:
(9.8)
Таким образом, при замене компонент тенора напряжений их средними значениями отличными от нуля и независимыми от х3 будут только три компоненты (i = 1, 2; j = 1, 2), т. е. при осреднении компонент тензора напряжений рассматриваемая пластина приближенно будет находиться в плоском напряженном состоянии, которое принято называть обобщенным плоским напряженным состоянием.
Поскольку , уравнения равновесия при использовании средних значений принимают вид
(9.9)
а соотношения закона Гука будут следующими:
(9.10)
где - постоянная, определяемая равенствами (7.10);
(9.11)
(9.12)
Так как среднее значение компонент тензора напряжений не зависят от x3, то уравнения равновесия (9.9) можно удовлетворить введением фукции Эри Ф(x1, x2):
(9.13)
Функция должна подчиняться условиям совместности Бельтрами, а функция Эри, следовательно, должна быть бигармонической.
Граничные условия для функции Ф(x1, x2) на контуре L пластины выражаются равенствами
(9.14)
где
(9.15)
Если на контуре L заданы не внешние силы, а перемещения т. е.
граничные условия
(9.16)
то в этом случае задачу удобнее решать в перемещениях, используя
уравнения равновесия Ламе, которые для задачи о плоской деформации имеют вид
(9.17)
а для задачи о плоском напряженном состоянии
(9.18)
где постоянная на основании соотношений (7.10)
(9.19)
Из сопоставления основных уравнений задачи о плоской деформации с соответствующими уравнениями задачи об обобщенном плавком напряженном состоянии видно, что они математически, идентичны. Заменив в уравнениях первой задачи компоненты и их средними значениями по формуле типа (9.7) а коэффициент Ламе λ — постоянной λ*, определяемой равенствами (7.10), получим уравнения второй задачи. Эти две различные по содержанию задачи сводятся к одной и той же бигармонической краевой задаче, которая называется плоской задачей теории упругости.
Приведем еще формулы закона Гука, определяющие деформации
по компонентам тензора напряжений. || *^
В случае плоского напряженного состояния имеем
получим
(9.20)
В случае плоской деформации
найдем:
(9.21)
где
(9.22)
Формулы закона Гука для плоского напряженного состояния и
для плоской деформации можно привести соответственно к следующим видам:
(9.23)
(9.24)
В дальнейшем рассматривается, как правило, задача о плоской деформации, при этом не имеющий значения размер тела вдоль оси х3 принимается равным единице длины. Имея решение задачи о плоской деформации, путем указанной замены получим решение соответствующей задачи об обобщенном плоском напряженном состоянии при тех же граничных условиях.