Задание С-3. Определение реакций опор составной конструкции
Вариант № 1.
Найти реакции опор и давление в промежуточном шарнире составной конструкции. Схема конструкции представлена на рис. 1 (размеры – в м), нагрузка указана в таблице 1.
Рис. 1
Таблица 1.
P1, кН | М, кН×м | q, кН/м |
6,0 | 25,0 | 0,8 |
С-3. Определение реакций опор составной конструкции
Решение. Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных ко всей конструкции (рис. 2).
y
P1y P1
90°
P1x C
Q M
RAy RBy
RAx RBx x
A B
Рис. 2.
Разложим силу P на составляющие Px и Py.
P1y P1
a
P1x a a
Рис. 3.
P1x = P1×sin(a),
P1y = P1×cos(a).
a = arctg(1,5/6) = arctg(0,25) = 14°.
P1x = P1×sin(a) = P1×sin(14°) = 6×0,24 = 1,44 (кН),
P1y = P1×cos(a) = P1×cos(14°) = 6×0,97 = 5,82 (кН).
Q = q×3,5 = 0,8×3,5 = 2,8 (кН).
С-3. Определение реакций опор составной конструкции.
Запишем уравнения равновесия:
(1)
(2)
(3)
Данная система из 3 уравнений содержит 4 неизвестных, для их нахождения рассмотрим отдельно правую и левую части конструкции.
Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных к левой части конструкции (рис.4):
y
P1y P1
90°
P1x C
RCx
Q RCy
RAy
RAx x
A
Рис. 4.
Запишем уравнения равновесия:
(4)
(5)
С-3. Определение реакций опор составной конструкции
(6)
Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных к правой части конструкции (рис.5):
y
R`Cy
R`Cx
C
M
RBy
RBx x
B
Рис.5.
Запишем уравнения равновесия:
(7)
(8)
(9)
где RCx = R`Cx, RCy = R`Cy.
Таким образом, имеем систему 4 уравнений (1), (2), (6) и (9) с 4 неизвестными.
Из уравнения (9)
Из уравнения (1)
С-3. Определение реакций опор составной конструкции
Из уравнения (6)
Из уравнения (2)
Найдем реакции шарнира С:
RCx = -RBx = 12,5 кН,
RCy = -RBy = 0,07 кН.
Отрицательные значения RBx и RBy говорят о том, что действительное направление RBx и RBy противоположно указанному на рис.4.
Итак,
С-3. Определение реакций опор составной конструкции
Найти реакции опор конструкции изображенной на рис.1.
Дано: Q = 2, G = 20, a = 20, b = 30, c = 10 R =15, r =5. Решение: Разложим реакции в опорах А и Б на их составляющие по осям коардинат, при этом RAy=RBy=RDy=0 |
Составим уравнения сумм моментов относительно всех осей:
Р*15-q*5=0, где, отсюда Р=(q*5)/15
-qx*20+P*60-RBx*80, отсюда RBx=(qx*20-P*60)/80
-qx*20-G*(20+30)+RBz*(20+30+30) отсюда RBz= (qx*20+G*50)/80
-Raz*80+qz*60+G*30=0 отсюда Raz= (qz*60+G*30)/80
Rax*80+ qx*60-P*30=0 отсюда Rax=-(qx*60-P*30)/80
qx=Q*cos45; qz=Q*sin45
Ra= RB=
Результаты работы
Raz | Rax | Ra | RBz | RBx | RB |
Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы.
Вариант № 1.
Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя; начальное положение системы показано на рис. 1. Учитывая трение скольжения тела 1, пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость тела 1 в тот момент, когда пройденный им путь станет равным s.
В задании приняты следующие обозначения: m1, m2, m3, m4 – массы тел 1, 2, 3, 4; b - угол наклона плоскости к горизонту; f – коэффициент трения скольжения.
Необходимые для решения данные приведены в таблице 1. Блоки и катки считать сплошными однородными цилиндрами. Наклонные участки нитей параллельны соответствующим наклонным плоскостям.
Рис. 1
Таблица 1.
m1, кг | m2, кг | m3, кг | m4, кг | b, град | f | s, м |
m | 4m | 0,2m | 4m/3 | 0,10 |
Решение.
Применим теорему об изменении кинетической энергии системы:
(1)
где T0 и T – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях; - сумма работ внешних сил, приложенных к системе; - сумма работ внутренних сил системы.
Для рассматриваемых систем, состоящих из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями,
Так как в начальном положении система находится в покое, то Т0=0.
Следовательно, уравнение (1) принимает вид:
(2)
Кинетическая энергия рассматриваемой системы Т в конечном ее положении (рис.2) равна сумме кинетических энергий тел 1, 2, 3 и 4:
Т = Т1 + Т2 + Т3 + Т4. (3)
2
w2
VA
V3
3 b V1
A C3 CV
w3
V4
Рис. 2.
Д-10
Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно,
(4)
Кинетическая энергия барабана 2, совершающего вращательное движение,
, (5)
где J2x – момент инерции барабана 2 относительно центральной продольной оси:
, (6)
w2 – угловая скорость барабана 2:
. (7)
После подстановки (6) и (7) в (5) выражение кинетической энергии барабана 2 принимает вид:
. (8)
Кинетическая энергия барабана 3, совершающего плоское движение:
, (9)
где VC3 – скорость центра тяжести С3 барабана 3, J3x – момент инерции барабана 3 относительно центральной продольной оси:
, (10)
w3 – угловая скорость барабана 3.
Так как двигается по нити без скольжения, то мгновенный центр скоростей находится в точке СV. Поэтому
, (11)
. (12)
Подставляя (10), (11) и (12) в (9), получим:
. (13)
Кинетическая энергия груза 4, движущегося поступательно,
, (14)
где V4 = VC3 = V1/2:
. (15)
Кинетическая энергия всей механической системы определяется по формуле (3) с учетом (4), (8), (13), (15):
Подставляя и заданные значения масс в (3), имеем:
или
. (16)
Найдем сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, на заданном ее перемещении (рис. 3).
2
N1
FTP
3 b
C3
P3 P1
P4
Рис. 2.
Работа силы тяжести :
(17)
Работа силы трения скольжения :
Так как
то
(18)
Работа силы тяжести , препятствующей движению тела 1:
(19)
Работа силы тяжести , препятствующей движению тела 1:
(20)
Сумма работ внешних сил определится сложением работ, вычисляемых по формулам (17) – (20):
.
Подставляя заданные значения масс, получаем:
или
. (21)
Согласно теореме (2) приравняем значения Т и , определяемые по формулам (16) и (21):
,
откуда
м/с.
Д-10
Задание Д-19. Применение общего уравнения динамики к исследованию движения механической системы с одной степенью свободы.
Вариант № 1.
Для заданной механической системы определить ускорения грузов и натяжения в ветвях нитей, к которым прикреплены грузы. Массами нитей пренебречь. Трение качения и силы сопротивления в подшипниках не учитывать. Система движется из состояния покоя.
Необходимые для решения данные приведены в таблице 1. Блоки и катки, для которых радиусы инерции в таблице не указаны, считать сплошными однородными цилиндрами.
Рис. 1
Таблица 1.
G1, кг | G2, кг | G3, кг | R/r | i2x |
G | G | 3G |
Решение.
Применим к решению задания общее уравнение динамики. Так как система приходит в движение из состояния покоя, направления ускорений тел соответствуют направлениям их движения. Движение таково, что груз 1 опускается.
Покажем задаваемые силы: силы тяжести - груза 1, - блока 2 и - катка 3 (рис. 2).
a3
M3Ф 2 e2 M3Ф
Ф3 e3 dj3
dj2
ds3
G3
Ф1
G2 1
a1
ds3
G1
Рис. 2.
Приложим силы инерции. Сила инерции груза 1, движущегося поступательно с ускорением :
.
Силы инерции блока 2, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловым ускорением e2, приводятся к паре, момент которой
Силы инерции катка 3, совершающего плоское движение, приводятся к силе
,
где - ускорение центра масс катка 3, и к паре сил, момент которой
,
где e3 – угловое ускорение катка 3, J3 – момент инерции катка 3 относительно центральной продольной оси:
.
Сообщим системе возможное перемещение в направлении ее действительного движения (рис. 2). Составим общее уравнении динамики:
, (1)
где dj2 и dj3 – углы поворотов блоков 2 и 3.
Учитывая, что G1 = G2 = G = mg, G3 = 3G = 3mg
имеем:
(2)
Устанавливаем зависимости между возможными перемещениями, входящими в (1), и между ускорениями в (2), пользуясь тем, что эти зависимости такие же, как между соответствующими скоростями:
dj2 = dj3 = ds1/R = ds1/2r;
ds3 = dj2r = ds1/2; (3)
e2 = e3 = a1/2r; a3 = a1/2.
С учетом (2) и (3) уравнение (1), после деления всех его членов на m и ds1, принимает вид
откуда
,
а3 = a1/2 = 1,87 м/с2.
а3
M3Ф
Ф3 e3 dj3 Т2-3
ds3
G3
Рис. 3.
Ф1
Т1-2
а1
ds1
G1
Рис. 4.
Для определения натяжения в нити 2-3 мысленно разрежем эту нить и заменим ее действие на каток 3 реакцией T2-3 (рис. 3).
Общее уравнение динамики:
,
откуда
Для нахождения натяжения в нити 1-2 мысленно разрежем эту нить и заменим ее действие на груз 1 реакцией T1-2 (рис. 4).
Не составляя общего уравнения динамики, на основании принципа Даламбера имеем: