Алгебраическая форма комплексного числа
Комплексным числом называется выражение
, | (1.1) |
в котором (действительные числа), а такое число, квадрат которого равен –1,
. | (1.2) |
Число называют мнимой единицей.
Выражение называют алгебраической формой комплексного числа, – действительной частью, а – мнимой частью комплексного числа z. При этом используются обозначения , .
Если , тогда – действительное число. Если , тогда – такое число называют чисто мнимым
Два комплексных числа и считаются равными, если и ; Û Ù у = 0. Понятия “больше” и “меньше” для комплексных чисел не существуют.
Комплексное число называется сопряженным по отношению к комплексному числу . Например, . Очевидно, что .
С комплексными числами можно производить арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня). Рассмотрим четыре из перечисленных действий над комплексными числами, записанными в алгебраической форме (1.1).
1) Сложение (вычитание). Чтобы сложить два комплексных числа и нужно сложить их действительные и мнимые части
. | (1.3) |
Аналогично производится вычитание +
+
Пример 1.1
, .
1) = = ;
2) .
2) Умножение:
. | (1.4) |
Формула умножения комплексных чисел (1.4) получается, если числа и перемножить как два многочлена и учесть, что . При умножении комплексных чисел удобнее использовать это правило, чем формулу (1.4).
Пример 1.2
= –
– = .
Пример 1.3
В качестве примера, найдем произведение комплексно сопряженных чисел:
= .
Здесь использована формула сокращенного умножения
, в которой принято , .
Таким образом, произведение сопряженных комплексных чисел равно сумме квадратов действительной и мнимой частей, т.е. равно действительному числу
. | (1.5) |
На формуле (1.5) основано построение формулы деления комплексных чисел:
(1.6) |
Таким образом, делитель и делимое нужно умножить на комплексное число, сопряженное делителю, тогда в знаменателе будет действительное число. Потом нужно перемножить комплексные числа в числителе.
Пример 1.4
, . Найти: , .
Решение
1) = ;
2) = .
Пример 1.5
, найти .
Решение
=
=
Ответ: .
Задачи для самостоятельного решения
1. Выполните действия над комплексными числами и :
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Ответы:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
2. Найдите действительную и мнимую части комплексного числа .
Ответ: = – 0,1; = 1,7.
3. Представить в алгебраической форме комплексное число .
Ответ: .
4. Найдите .
Ответ: .
5. Решите уравнение: .
Ответ: .
Тригонометрическая форма комплексного числа
Каждому комплексному числу можно сопоставить точку на плоскости. Эта точка будет иметь координаты .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.1.1
Соединим начало координат с точкой z. Расстояние от начала координат до точки z называется модулем комплексного числа z и обозначается . Угол (рис.1.1) называется аргументом комплексного числа и обозначается . Если , тогда называют главным значением аргумента. Все множество аргументов опишется соотношением
,
Нетрудно видеть: ,
Заметим: а) ,
б) , не определен,
в) , .
Используя равенства , , комплексное число z можно записать в виде
(1.7) |
Такое выражение называется тригонометрической формой комплексного числа.
Пример 1.6
, найти .
Решение
.
Пример 1.7
Представить в тригонометрической форме комплексное число .
Решение
Из рисунка видно, что , .
Запишем комплексное число в тригонометрической форме:
.
Пример 1.8
Представить в тригонометрической форме комплексное число
.
Решение
;
.
Таким образом, , .
Запишем комплексное число в тригонометрической форме:
.
Задачи для самостоятельного решения
1. Запишите комплексные числа в тригонометрической форме:
1) –1; 2) – ; 3) ; 4) ; 5) .
Ответы:
1) ; 2) ; 3) +
+ ; 4) ; 5) +
+ .
2. . Найти: ; ; .