Приведение силы к заданному центру
Дано:
приложена в точке А.
Приведем к произвольному центру О.
а) б) перенесём в в) получили:
точку О и силу и пару
добавим .
- приведенная сила
-присоединенная пара
или ,
Данная сила эквивалентна совокупному действию приведенной силы и присоединенной пары. Причем, приведённая сила геометрически равна заданной и приложена в произвольном центре, а момент присоединенной пары равен моменту данной силы относительно того же центра.
Приведение произвольной системы сил к заданному центру
Пусть дана некоторая произвольная система сил
Приведем эту систему сил к произвольному центру О.
Сложим геометрически все приведенные силы ;
- главный вектор системы сил.
Сложим геометрически все присоединенные пары ;
Любая произвольная система сил в общем случае эквивалентна силе, называемой главным вектором системы, равным геометрически сумме сил заданных, и паре сил с моментом, называемым главным моментом системы сил, равной геометрически сумме моментов всех сил относительно центра приведения.
Замечание. Не следует отождествлять главный вектор с равнодействущей , т.к равнодействующая – это одна сила, эквивалентная данной системе сил, а главный вектор эквивалентен данной системе сил только в совокупности с парой сил, момент который равен главному моменту .
Главный вектор системы не зависит от центра приведения, а главный момент существенно зависит от центра приведения.
Главный вектор определим из выражений
Приведение системы сил к простейшему виду
В результате приведения системы сил к данному центру могут встретиться следующие слечаи:
1. - общий случай,
2. - случай равновесия,
3. - система сил приводится к равнодействующей,
4. - система сил приводится к паре.
Условия равновесия произвольной системы сил в векторной форме
Для равновесия произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись условия:
.
Но
Таким образом при равновесии произвольной системы сил геометрическая сумма всех сил и моменты этих сил относительно любого центра равны О, т.е силовой и моментный многоугольники замкнуты.
Аналитические условия равновесия произвольной плоской системы сил
Для плоской системы сил (1) можно представить в виде:
(1’)
Т.к. вектора перпендикулярны плоскости дейтвия сил, то их сумму можно представить алгебраической суммой.
Проецируя выражение главного вектора (1’) на оси координат и оставляя неизменным выражение главного момента, получим так называемую основную форму условий равновесия произвольной плоской системы сил:
Читать. Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на каждую из двух координатных осей и алгебраическая сумма их моментов относительно любой точки, лежащей в поскости действия сил, равнялись нулю.
Существуют еще две эквивалентные формы неоходимых и достаточных условий равновесия:
в виде теоремы о трех моментах и третьей формы условия равновесия:
(II)
Пример 1
Дано:
F=10H
M=8Hм
q=6Н/м
a=0.4м
b=0.6
Найти:
Равномерно распределенную нагрузку заменим сосредоточенной силой
Для произвольной плоской системы сил составим 3 уравнения равновесия:
(1)
, (2)
(3) Из уравнений (1) - (3) находим искомые реакции
(1)
(2)
(3)
Пример 2
Пространственная система сил Пространственной называется система сил расположенная в пространстве. Момент силы относительно оси Чтобы вычислить момент силы относительно оси Z, следует спроецировать эту силу на плоскость Q, перпендикулярную оси, а затем вычислить момент этой проекции относительно точки О пересечения оси с плоскостью. Определение. Моментом силы относительно оси называют алгебраический момент проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью Правило знаков. Момент положен, если воображаемое вращение тела под действием проекции силы вокруг оси видно с ее положенного направления происходящим против часовой стрелки. Момент силы относительно оси характеризует меру вращательного эффекта силы вокруг оси. т.е.ось и сила лежат в одной плоскости. Зависимость между моментом силы относительно центра и оси Установим зависимость между моментом силы относительно точки и моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку. Ранее установлено, что Т.к. , является проекцией на плоскость Q, то (1) Умножив обе части (1) на 2, получим: или , Аналитические выражения моментов силы относительно координатных осей Дано: . Найти аналитические выражения моментов силы относительно осей координат. Изобразим декартову систему координат и покажем ; -координаты точки приложения силы, - проекции силы на оси координат. Если дана сила (известны ее проекции на оси координат) и даны координаты x,y,z точки приложения этой силы, то векторный момент относительно начала координат после разложения по координатным осям можно представить определителем третьего порядка = . Выражения в скобках определяют проекции вектора на оси координат. Используя зависимость между моментом силы относительно центра и оси, получим -аналитические выражения моментов силы относительно координатных осей. Аналитические условия равновесия произвольной пространственной системы сил В геометрической форме и . (1) Аналитическая форма условий равновесия получается, если спроецировать (1) на координатные оси: Читать. Для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические ∑ проекций всех сил на каждую из трех координатных осей и ∑ моментов сил относительно этих осей равнялись нулю. |