Решение.
Областью определения неравенства являются положительные числа, отличные от 0,25 и 1. Выражение либо равно нулю при при этом неравенство верно; либо положительно, и тогда на него можно разделить, не меняя знака неравенства. Имеем:
Учитывая, что , получаем ответ:
Ответ:
Критерии проверки:
Источник: РЕШУ ЕГЭ — Предэкзаменационная работа 2014 по математике.
Решение.
Заметим, что в ОДЗ данного неравенства входят все положительные числа за исключением Преобразуем неравенство:
Сделаем замену
Откуда получаем:
Ответ:
Критерии проверки:
Задание 15 № 508504
Решите неравенство:
Решение.
Заметим, что в ОДЗ данного неравенства входят все положительные числа за исключением Преобразуем неравенство:
Сделаем замену имеем:
Тогда или откуда получаем множество решений неравенства:
Ответ:
Критерии проверки:
Задание 15 № 508506
Решите неравенство:
Решение.
Преобразуем неравенство:
Рассмотрим два случая. Первый случай:
Откуда, учитывая условие получаем: или
Второй случай:
Итак, учитывая условие получаем: или
Множество решений неравенства:
Приведём другое решение.
Заметим, что исходное неравенство равносильно неравенству
Применим метод рационализации к неравенству :
Ответ:
Критерии проверки:
Задание 15 № 508508
Решите неравенство:
Решение.
Преобразуем неравенство:
Рассмотрим два случая.
а)
Откуда, учитывая условие находим: или
б)
Учитывая условие , получаем: или
Множество решений неравенства:
Ответ:
Критерии проверки:
Задание 15 № 508510
Решите неравенство:
Решение.
В левой части перейдём к другому основанию:
Заметим, что при и неравенство равносильно неравенству:
Положив в последнем неравенстве получаем:
Таким образом, имеем:
Учитывая то, что получаем множество решений неравенства:
Ответ:
Примечание.
Поясним переход от логарифма по основанию к десятичному логарифму. Заметим, что при можно произвести следующие преобразования:
Критерии проверки:
Задание 15 № 508512
Решите неравенство:
Решение.
Заметим, что при и исходное неравенство равносильно неравенству:
Положив в последнем неравенстве получаем:
Далее имеем:
Учитывая то, что получаем решение исходного неравенства:
Ответ:
Критерии проверки:
Задание 15 № 508513
Решите неравенство:
Решение.
Преобразуем неравенство, используя свойства логарифма:
Рассмотрим два случая. Первый случай:
Второй случай:
Решение неравенства: или
Приведём другое решение.
Заметим, что
Воспользуемся методом рационализации:
Ответ:
Критерии проверки:
Задание 15 № 508515
Решите неравенство:
Решение.
Рассмотрим два случая. Первый случай
Второй случай:
Решение первого неравенства исходной системы: или
Приведём другое решение.
Используя метод рационализации, получим
Из первого неравенства
Учитывая область определения, получим
Ответ:
Критерии проверки:
Задание 15 № 508517
Решите неравенство:
Решение.
Рассмотрим два случая.
Первый случай:
Второй случай:
Множество решений неравенства:
Ответ:
Критерии проверки:
Задание 15 № 508520
Решите неравенство:
Решение.
Решим неравенство методом интервалов. Найдём ОДЗ:
Найдём корни:
Определим знаки левой неравенства на ОДЗ (см. рис.):
Тем самым, множество решений неравенства:
Критерии проверки:
Задание 15 № 508521
Решите неравенство:
Решение.
Рассмотрим два случая.
Первый случай: Тогда имеем систему:
Второй случай: Тогда имеем систему:
Приведём другое решение.
Найдем сначала область определения неравенства:
На области определения исходное неравенство равносильно неравенству
Учитывая область определения, получим ответ.
Ответ:
Критерии проверки:
Задание 15 № 508523
Решите неравенство:
Решение.
Рассмотрим два случая.
Первый случай: Тогда имеем систему
Второй случай: Тогда имеем систему:
Множество решений неравенства:
Ответ:
Критерии проверки:
Задание 15 № 508526
Решите неравенство:
Решение.
Преобразуем неравенство:
Рассмотрим два случая.
Первый случай:
откуда находим: Полученные значения переменной удовлетворяют условию
Второй случай: Имеем:
Учитывая условие , получаем: Решение неравенства:
Ответ:
Критерии проверки:
Задание 15 № 508527
Решите неравенство:
Решение.
Преобразуем неравенство:
Рассмотрим два случая.
Первый случай:
Все полученные значения переменной удовлетворяют условию
Второй случай:
Учитывая условие получаем: Множество решений второго неравенства исходной системы:
Ответ:
Критерии проверки:
Задание 15 № 508529
Решите неравенство:
Решение.
Решим первое неравенство системы:
Рассмотрим два случая. Первый случай:
Второй случай:
Множество решений неравенства:
Ответ:
Критерии проверки:
Задание 15 № 508531
Решите неравенство:
Решение.
Преобразуем неравенство:
Рассмотрим два случая. Первый случай:
Второй случай:
Множество решений неравенства:
Ответ:
Критерии проверки:
Задание 15 № 508533
Решите неравенство:
Решение.
Имеем:
Рассмотрим два случая. Первый случай:
Второй случай:
Таким образом, множество решений данного уравнения: