Содержание
Введение
. Понятие функции двух переменных
. Предел и непрерывность функции двух переменных
. Частные производные первого порядка. Полный дифференциал
. Частные производные высших порядков
. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума
. Условный экстремум
Заключение
Список литературы
предел функция производная дифференциал экстремум
Введение
Явления, происходящие в общественной жизни, природе, экономике, не всегда можно описать с помощью функции всего лишь одной переменной.
Например, рентабельность предприятия зависит от прибыли, основных и оборотных фондов. Понятие функции нескольких переменных появилось именно для изучения такого рода зависимостей.
В наше время наука неумолимо быстро развивается, и для ее развития требуются все более сложные решения тех или иных вопросов. Поэтому для роста научно технического прогресса и усложнения экономических процессов требуются новые привлечения математических процессов.
В данной работе рассмотрим функции двух переменных, так как все основные понятия и теоремы, сформулированные для функций двух переменных, легко обобщаются на случай большего числа переменных.
Понятие функции двух переменных
Многие явления, происходящие в природе, экономике, общественной жизни нельзя описать с помощью функции одной переменной. Например, рентабельность предприятия зависит от прибыли, основных и оборотных фондов. Для изучения такого рода зависимостей и вводится понятие функции нескольких переменных.
В данной лекции рассматриваются функции двух переменных, так как все основные понятия и теоремы, сформулированные для функций двух переменных, легко обобщаются на случай большего числа переменных.
Пусть - множество упорядоченных пар действительных чисел .
Определение 1. Если каждой упорядоченной паре чисел по некоторому закону поставлено в соответствие единственное действительное число , то говорят, что задана функция двух переменных или . Числа называются при этом независимыми переменными или аргументами функции, а число - зависимой переменной.
Например, формула , выражающая объем цилиндра, является функцией двух переменных: - радиуса основания и - высоты.
Пару чисел иногда называют точкой , а функцию двух переменных - функцией точки .
Значение функции в точке обозначают или и называют частным значением функции двух переменных.
Совокупность всех точек , в которых определена функция , называется областью определения этой функции. Для функции двух переменных область определения представляет собой всю координатную плоскость или ее часть, ограниченную одной или несколькими линиями.
Например, область определения функции - вся плоскость, а функции - единичный круг с центром в начале координат ( или .
Предел и непрерывность функции двух переменных
Понятия предела и непрерывности функции двух переменных аналогичны случаю одной переменной.
Пусть - произвольная точка плоскости. - окрестностью точки называется множество всех точек , координаты которых удовлетворяют неравенству . Другими словами, - окрестность точки - это все внутренние точки круга с центром в точке и радиусом .
Определение 2. Число называется пределом функции при (или в точке ), если для любого сколь угодно малого положительного числа существует (зависящее от ) такое, что для всех и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .
Обозначается предел следующим образом:
или .
Пример 1. Найти предел .
Решение. Введем обозначение , откуда . При имеем, что . Тогда
.
Определение 3. Функция называется непрерывной в точке , если: 1) определена в точке и ее окрестности; 2) имеет конечный предел ; 3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. .
Функция называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области.
Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. В некоторых функциях точки разрыва образуют целые линии разрыва. Например, функция имеет две линии разрыва: ось () и ось ().
Пример 2. Найти точки разрыва функции .
Решение. Данная функция не определена в тех точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т. е. в точках, где или . Это окружность с центром в начале координат и радиусом . Значит, линией разрыва исходной функции будет окружность .