Физический и геометрический смысл производной.

Определение производной.

Задачи, приводящие к понятию производной.

Физический и геометрический смысл производной.

Преподаватель математики

Мельник Павел Викторович

Тамбов 2020

Тема урока:

Определение производной. Задачи, приводящие к понятию производной. Физический и геометрический смысл производной.

Цели урока:

1) ввести понятие производной;

2) рассмотреть задачи, приводящие к понятию производной;

3) закрепить умение применять физический и геометрический смысл производной на конкретных примерах.

Ход урока.

I. Организационный момент (5 мин)

Вспомнить необходимые определения. Сообщить тему и цели урока.

II. Проверка домашнего задания. Актуализация знаний учащихся.(10 мин)

Два ученика у доски решают №21.24 (в,г) из домашнего задания, в это время идет фронтальный опрос, после которого обсуждается решение примеров на доске.

Фронтальный опрос.

- Дать определение функции.

- Дать определение предела функции на бесконечности. Геометрический смысл. (Графики на интерактивной доске Слайд №1)

- Дать определение предела функции в точке. Какая функция называется непрерывной в точке?

- Дать определение приращения аргумента и приращения функции.

III. Изучение нового материала. (20мин.)

Слайд №2

Понятие предела имеет большой философский смысл. Окружающий нас мир бесконечен, бесконечны пространство и время. Если какое-либо явление можно описать некоторым законом, т. е. функцией, то предел этой функции на бесконечности может нам многое «рассказать» о будущем этого явления.

Слайд №3

С понятием предела непосредственно связано понятие производной. Различные задачи из различных областей знания приводят к одной и той же математической модели – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремиться к нулю. Впервые название этой модели и ее обозначение ввел немецкий ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц в 1675 году – основоположник дифференциального и интегрального исчисления. Лейбниц был философом и лингвистом, историком и биологом, дипломатом и политическим деятелем, математиком и изобретателем. Он в 1700 году организовал академию в Берлине, он же рекомендовал Петру I организовать академию в России. При организации Петербургской Академии наук в 1725 г. пользовались планами Лейбница.

Слайд №4

Итак, определение производной:

Производная непрерывной функции в данной точке равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

f ^′ (𝑥) = .

Обозначается f ^′(х) или df/ dx, где df – дифференциал функции,

dx - дифференциал аргумента (дифференциал – бесконечно малое приращение).

Если функция имеет производную в точке х_о, то ее называют дифференцируемой в точке х_о. Процедуру нахождения производной функции называют дифференцированием функции.

Мы рассмотрим две задачи, которые приводят к понятию производной.

Слайд №5

I. Механическая задача.

Итальянский ученый Г. Галилей, изучая свободное падение тел, экспериментальным путем определил зависимость пути S, пройденного телом за время t: S = gt²/2, где g – ускорение свободного падения. При свободном падении скорость тела v растет, движение неравномерное. Как найти скорость тела в любой момент времени, т.е. мгновенную скорость v(t)? Мы знаем, что при равномерном движении v=S/t. При неравномерном движении по этой формуле находится средняя скорость на всем пути: v_ср=∆S/∆t. Рассмотрим два момента времени: t и t+∆t, причем ∆t – малый промежуток времени. Тогда за этот промежуток времени тело пройдет путь ∆S=S(t+∆t) – S(t) и v_ср=∆S/∆t. Если ∆tà0, то v_срàv(t), значит. = v(t), v(t)

Вывод. Физический смысл производной заключается в том, что мгновенная скорость – это производная пути по времени:

v = S^′ (t)

Вспомним определение ускорения: а = ∆v/∆t, но если ∆tà0, то

а = Итак, задача механики о нахождении скорости тела в любой момент времени решена. Нужно только вычислить предел отношения приращения пути к приращению времени, если приращение времени стремится к нулю, т. е. найти производную пути.

II. Еще одна задача, приводящая к понятию производной, – задача о касательной к графику функции 𝒚 = f(𝑥).

Слайд №6

Рассмотрим график непрерывной функции и проведем в точке А секущую и касательную к графику

Прямая АВ – секущая, ee уравнение y = k_секх +b, где k_сек – угловой коэффициент секущей,

k_сек =∆y/∆x = tg α_сек, где α_сек – угол наклона секущей (отсчитывается от положительного направления оси Ох против часовой стрелки).

Пусть ∆х стремится к нулю, тогда секущая стремится к своему предельному положению – к касательной в точке А, т. е. угловой коэффициент касательной равен пределу углового коэффициента секущей: = k_кас, причем k_кас = tg α, где α - это угол наклона касательной, отсчитываемый от положительного направления оси Ох.

Значит, k_кас = tg α =

Вывод. Геометрический смысл производной заключается в том, что угловой коэффициент или тангенс угла наклона касательной к графику функции в данной точке с абсциссой 𝑥 равен производной функции в этой точке:

k_кас = tg α = f ^′ (𝑥)

IV.Закрепление изученного материала. (5 мин)

Устно решаются номера 22.4, 22.12-22.14(в,г) из учебника: Математика.10 класс. А. Г. Мордкович, И. М. Смирнова.- М.:Мнемозина, 2007.

Домашнее задание: §22, № 22.4, 22.12-22.14(а,б).