Тема «Дискретная случайная величина»
Понятие дискретной и непрерывной случайной величины
Случайные события - объекты, имеющие два состояния: событие может либо наступить, либо не наступить. Более сложным объектом является случайная величина, имеющая несколько состояний.
Определение. Величина,которая в зависимости от результатовиспытаний принимает то или иное численное значение, называется случайной величиной.
Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные. Определение. Дискретной (прерывной)называется такая случайная
величина, которая принимает конечное или бесконечное (счетное) множество значений.
Счетным называется множество,элементы которого можнопронумеровать числами натурального ряда: 1, 2,..., п.
Например, число бракованных деталей среди п проверенных; число выпавших «гербов» при n –кратном бросании монеты; число девочек. родившихся в течении суток в определенной стране; число учащихся, опрошенных на уроке; число солнечных дней в году. Т.е. случайная величина может принимать отдельные изолированные значения, которые можно заранее перечислить.
Например, X - число шахматных партий, окончившихся ничейным результатом, из трех сыгранных. В этом случае величина X может принять следующие значения: x1=0; x2=1; x3=2; x4=3.
Рассмотрим дискретную случайную величину X с возможными
значениями x1, x2, x3, x4, …, xn. В результате опыта случайная величина примет одно и только одно из этих значений. Другими словами, произойдет одно из несовместных событий, образующих полную группу: X=x1, X=x2, X=x3,…, X=xn. Каждое значение дискретной случайной величины имеет определенную вероятность появления. Пусть возможное значение x1 наступает с вероятностью р1, значение х 2 - с вероятностью p2, и так далее, значение х n -
с вероятностью pn. Так как указанные события образуют полную группу, то сумма вероятностей появления возможных значений случайной величины равна 1,т.е.
= 
=1.
Таким образом, суммарная вероятность, равная 1, распределена между всеми возможными значениями случайной величины.
Определение. Непрерывной называют случайную величину,котораяможет принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного интервала.
Примерами непрерывной случайной величины служат: время безаварийной работы станка; расход горючего на единицу расстояния; количество осадков, выпавших в сутки.
Рассмотрим непрерывную случайную величину на примере дальности полета артиллерийского снаряда.
Предположим, что расчетная дальность полета снаряда 7000 м. Пусть при первом выстреле снаряд пролетел 7020 м, а при втором -7040 м. При последующих выстрелах снаряд может пролететь и 7030, и 6995 м. Другими словами, снаряд может попасть в любую точку некоторого промежутка и невозможно указать какие-либо два возможных значения дальности полета снаряда, между которыми не найдется хотя бы одного возможного значения рассматриваемой случайной величины.
Закон распределения дискретной случайной величины.
Определение. Законом распределения дискретной случайной величины
называется соответствие между возможными значениями случайной величины
и вероятностями их появления.
Существует две формы задания закона распределения дискретнойслучайной величины:табличная и графическая.Табличная форма,называемаярядом распределения, представляется в виде двух строк (столбцов). В первой строке записываются все возможные значения случайной величины хi, в порядке возрастания, во второй - вероятности рi появления этих значений (таблица 1).
Таблица 1
| X | x1 | x2 | … | xi | … | xn |
| P | p1 | p2 | … | pi | … | pn |
n
Сумма всех значений вероятностей равна единице, то есть å pi = 1.
i =1
Графическая форма задания закона распределения - это полигон (или многоугольник)распределения вероятностей.Он представляет собой ломануюлинию, соединяющую точки (хi, рi) прямоугольной системы координат (рис. 1)
Рис.1
Пример 1
В партии из восьми деталей пять стандартных. Наудачу взяты четыре детали. Построить ряд распределения числа стандартных деталей среди отобранных. Решение. Пусть случайная величина X–число стандартных деталей среди четырех отобранных. Она может принять следующие четыре значения: x1=1, x2=2, x3=3, x4=4. Для определения вероятности появления конкретного числа стандартных деталей воспользуемся формулой
C k C l - k
P (Х = k)= m n - m
Cnl
где n –число деталей в партии, l -число отобранных деталей, m -число стандартных деталей, k -число стандартных деталей среди отобранных. Далее имеем
| P (Х =1)= | C 51 C 33 | = | , | P (Х =2)= | C 52 C 32 | = | , | |||||||||||||
| C 84 | C 84 | |||||||||||||||||||
| P (X =3)= | C 53 C 31 | = | C 54 C 30 | |||||||||||||||||
| C 84 | 14 , | P (Х =4)= | = | , | ||||||||||||||||
| C 84 | ||||||||||||||||||||
Проверим вычисления. Складывая полученные вероятности, получаем 1/14+6/14+6/14+1/14=1. Искомый ряд распределения имеет вид
| X | ||||||
| P | 1/14 | 6/14 | 6/14 | 1/14 | ||
Ряд распределения можно задать графически, если по оси абсцисс отложить возможные значения случайной величины, а по оси ординат – вероятности этих значений. Соединив точки (xi;yi) последовательно отрезками прямой линии, получим ломаную, которая называется многоугольником распределения вероятностей. Построим многоугольник распределения для нашей задачи
(рис.2).
y
6/14
1/14
1 2 3 4
Рис.2
x
Многоугольник распределения, как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину и является одним из способов (графическим) задания закона распределения.
Сумма ординат многоугольника равна единице. Это свойство многоугольника распределения является определяющим. Если в прямоугольной системе координат задана некоторая ломаная, удовлетворяющая определению функции и обладающая указанным выше свойством, то такая ломаная, очевидно, задает закон распределения некоторой случайной величины.