Уч. год
1. На книжной полке в произвольном порядке расставлены пять книг по высшей математике, две книги по теоретической механике и три книги по сопромату. Студент наудачу берёт три книги. Найти вероятность того, что извлечёнными книгами являются:
а) все книги по высшей математике;
б) две книги по высшей математике и одна книга по сопромату;
в) все три книги по различным предметам.
2. С использованием формул сложения и умножения составить справочную таблицу для расчета надежности электрических цепей, включающих последовательные и параллельные соединения.
3.
4. Найти вероятность того, что длина случайно взятой хорды в окружности единичного радиуса превзойдет длину стороны правильного вписанного треугольника.
5. Для студента вероятность сдать экзамен по высшей математике на оценку удовлетворительно равна 0,4; на оценку хорошо и отлично соответственно равны 0,3 и 0,2. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен на оценку выше удовлетворительной.
6. Абитуриент сдает три экзамена. Вероятность сдать экзамен по русскому языку равна 0,9, по математике и физике вероятности соответственно равны 0,8 и 0,7. Найти вероятности следующих событий:
а) абитуриент сдаст все три экзамена;
б) абитуриент не сдаст ни один экзамен;
в) абитуриент сдаст только экзамен по русскому языку;
г) абитуриент сдаст только один экзамен;
д) абитуриент сдаст хотя бы один экзамен.
7. В первой урне два чёрных, восемь белых шаров; во второй урне семь белых, три чёрных шара. Из наудачу выбранной урны извлекли три шара. Найти вероятность того, что все три извлечённых шара оказались белого цвета.
8. Стрелок поражает мишень хотя бы один раз при трёх выстрелах с вероятностью 0,073. Найти вероятность того, что при пяти выстрелах он попадёт не менее двух раз.
9. Из тридцати экзаменационных билетов один студент не знает двух, а другой студент – трех билетов. Кому из них выгоднее брать билет первым и кому вторым?
10. В шахматном турнире участвуют 20 человек, которые по жребию разбиваются на две группы по 10 человек. Покажите, что вероятность оказаться двум наиболее сильным игрокам в одной группе меньше, чем вероятность оказаться им в разных группах.
11. Для каждой из статистик Максвелла – Больцмана, Бозе – Эйнштейна и Ферми – Дирака найдите вероятность того, что рассматриваемые r частиц окажутся расположенными по одной в заданных r ячейках из числа возможных n ячеек.
12. Могут ли независимые события А и В быть совместными?
13. Двое поочередно подбрасывают игральную кость. Выигрывает тот, у кого раньше выпадет шестерка. Определите вероятность выигрыша для каждого игрока.
14. Из урны, где было 6 белых и 4 черных шаров, потерян один шар неизвестного цвета, после этого из урны извлечены (без возвращения) 2 шара, оказавшиеся белыми. При этом условии найти вероятность того, что потерян был черный шар.
15. Из таблицы случайных чисел наудачу взято одно число. Событие А= {выбранное число делится на 9}, событие В= {сумма цифр выбранного числа делится на 3}. Что означают события А+В, АВ, А-В, В-А?
16. На шахматную доску ставят двух слонов: белого и черного. Какова вероятность того, что при первом ходе один слон может побить другого?
17. Колода карт в 52 листа делится наугад на две пачки по 26 листов каждая. Найти вероятности следующих событий:
а) в одной пачке окажется четыре туза;
б) в одной пачке оказалось четыре карты бубновой масти.
18. Вероятности попадания в мишень для трех стрелков равны 4/5, 3/4 и 2/3 соответственно. В результате одновременного выстрела трех стрелков в мишени образовалось две пробоины. Какова вероятность того, 2-й стрелок не попал в мишень?
19. Пусть в коробке есть 3 новых и 3 уже использованных теннисных мяча. Для первой игры наудачу берут из коробки 2 мяча и затем возвращают в коробку. Какова вероятность для второй игры из этой коробки наудачу вынуть два новых мяча?
20. На стеллаже в библиотеке стоят 6 учебников, причём четыре из них в переплёте. Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найти вероятности того, что среди них окажется: ровно один учебник в переплёте; хотя бы один учебник в переплете.
21. Из полного набора домино наугад извлекают кость. Определите, с какой вероятностью к ней можно приставить вторую, выбранную наугад.
22. Чему равна вероятность того, что два бросания трех игральных костей дадут один и тот же результат, если: а) кости различимы; б) кости не различимы?
23. Сколько нужно параллельно соединить элементов, вероятность безотказной работы каждого из которых за время t равна 0,9, чтобы вероятность безотказной работы всей системы за время t была не менее 0,999?
24. Докажите, что если Р(А) = 0, то Р(А+В) =Р(В). Верно ли обратное утверждение?
25. Докажите, что если Р(А) = 1, то Р(А·В) =Р(В). Верно ли обратное утверждение?