Четырёхугольники и их элементы

1. В па­рал­ле­ло­грам­ме АВСD про­ве­де­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры ВЕ и DF к диа­го­на­ли АС (см. рисунок). Докажите, что ВFDЕ — параллелограмм.

2. Сторона BC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD вдвое боль­ше сто­ро­ны CD. Точка L — се­ре­ди­на сто­ро­ны BC. Докажите, что DL — бис­сек­три­са угла CDA.

3. Сторона AB па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD вдвое боль­ше сто­ро­ны BC. Точка N — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB. Докажите, что CN — бис­сек­три­са угла BCD.

4. В тре­уголь­ни­ке ABC с тупым углом ABC про­ве­де­ны высоты AA ₁ и CC ₁. Докажите, что тре­уголь­ни­ки A ₁BC₁ и ABC подобны.

5. В тре­уголь­ни­ке ABC с тупым углом ABC про­ве­де­ны высоты AA ₁ и CC ₁. Докажите, что тре­уголь­ни­ки A ₁ BC ₁ и ABC подобны.

6. Биссектрисы углов C и D тра­пе­ции ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P, ле­жа­щей на сто­ро­не AB. Докажите, что точка P рав­но­уда­ле­на от пря­мых BC, CD и AD.

7. Сторона AB па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD вдвое боль­ше сто­ро­ны AD. Точка K — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB. Докажите, что DK — бис­сек­три­са угла ADC.

8. Точка K — се­ре­ди­на бо­ко­вой сто­ро­ны CD тра­пе­ции ABCD. Докажите, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка KAB равна по­ло­ви­не пло­ща­ди трапеции.

9. Докажите, что отрезок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны ос­но­ва­ний трапеции, делит её на две рав­ные по пло­ща­ди части.

10. Сторона AD па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD вдвое боль­ше сто­ро­ны CD. Точка M — се­ре­ди­на сто­ро­ны AD. Докажите, что CM — бис­сек­три­са угла BCD.

11. В па­рал­ле­ло­грам­ме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сторонах, как по­ка­за­но на рисунке, причём АЕ = CK, BF = DM. Докажите, что EFKM — параллелограмм.

12. Дан пра­виль­ный восьмиугольник. Докажите, что если его вер­ши­ны по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нить от­рез­ка­ми через одну, то по­лу­чит­ся квадрат.

13. Дан пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник. До­ка­жи­те, что если по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нить от­рез­ка­ми се­ре­ди­ны его сто­рон, то по­лу­чит­ся пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник.

14. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD точка E — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB. Известно, что EC=ED. Докажите, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — прямоугольник.

15. В па­рал­ле­ло­грам­ме про­ве­де­ны вы­со­ты и . Докажите, что по­до­бен .

16. В параллелограмме проведены высоты и . Докажите, что подобен .

17. Два квад­ра­та имеют общую вершину. Докажите, что от­ме­чен­ные на ри­сун­ке от­рез­ки и равны.

18. В па­рал­ле­ло­грам­ме про­ве­де­ны бис­сек­три­сы про­ти­во­по­лож­ных углов. Докажите, что от­рез­ки биссектрис, за­клю­чен­ные внут­ри параллелограмма, равны.

19. Середины сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма яв­ля­ет­ся вер­ши­на­ми ромба. Докажите, что дан­ный параллелограмм — прямоугольник.

20. Дана рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция . Точка лежит на ос­но­ва­нии и рав­но­уда­ле­на от кон­цов дру­го­го основания. Докажите, что — середина ос­но­ва­ния .

21. Три сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны. Докажите, что от­ре­зок с кон­ца­ми в се­ре­ди­нах про­ти­во­по­лож­ных сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма равен чет­вер­ти его периметра.

22. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD про­ве­де­ны вы­со­ты BH и BE к сто­ро­нам AD и CD соответственно, при этом BH = BE. Докажите, что ABCD — ромб.

23. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. До­ка­жи­те, что пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD в че­ты­ре раза боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AKD.

24. Дан пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник. До­ка­жи­те, что если его вер­ши­ны по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нить от­рез­ка­ми через одну, то по­лу­чит­ся рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник.

25. Дан пра­виль­ный вось­ми­уголь­ник. До­ка­жи­те, что если его вер­ши­ны по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нить от­рез­ка­ми через одну, то по­лу­чит­ся квад­рат.

26. Дан пра­виль­ный вось­ми­уголь­ник. До­ка­жи­те, что если по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нить от­рез­ка­ми се­ре­ди­ны его сто­рон, то по­лу­чит­ся пра­виль­ный вось­ми­уголь­ник.

27. Точка E — се­ре­ди­на бо­ко­вой сто­ро­ны AB тра­пе­ции ABCD. Докажите, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка ECD равна по­ло­ви­не пло­ща­ди трапеции.

28. Внутри па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD вы­бра­ли про­из­воль­ную точку E. Докажите, что сумма пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков BEC и AED равна по­ло­ви­не пло­ща­ди параллелограмма.

29. Известно, что около четырёхугольника ABCD можно опи­сать окруж­ность и что про­дол­же­ния сто­рон AB и CD четырёхугольника пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Докажите, что тре­уголь­ни­ки MBC и MDA подобны.

30. Основания BC и AD тра­пе­ции ABCD равны со­от­вет­ствен­но 5 и 20, BD = 10. Докажите, что тре­уголь­ни­ки CBD и ADB подобны.

31. Точка E — се­ре­ди­на бо­ко­вой сто­ро­ны AB тра­пе­ции ABCD. Докажите, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка ECD равна по­ло­ви­не пло­ща­ди трапеции.

32. Биссектрисы углов B и C тра­пе­ции ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O, ле­жа­щей на сто­ро­не AD. Докажите, что точка O рав­но­уда­ле­на от пря­мых AB, BC и CD.

33. В вы­пук­лом четырёхугольнике ABCD углы BCA и BDA равны. Докажите, что углы ABD и ACD также равны.

34. В тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Докажите, что пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков AOB и COD равны.

35. Через точку O пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD про­ве­де­на прямая, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ны AB и CD в точ­ках P и T соответственно. Докажите, что BP = DT.

36. Окружности с цен­тра­ми в точ­ках I и J пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B, причём точки I и J лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой AB. Докажите, что AB ⊥ IJ.

37. На сред­ней линии тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC вы­бра­ли про­из­воль­ную точку E. Докажите, что сумма пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков BEC и AED равна по­ло­ви­не пло­ща­ди трапеции.

38. Докажите, что отрезок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны ос­но­ва­ний трапеции, делит её на две рав­ные по пло­ща­ди части.

39. Известно, что около четырёхугольника ABCD можно опи­сать окруж­ность и что про­дол­же­ния сто­рон AB и CD четырёхугольника пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Докажите, что тре­уголь­ни­ки MBC и MDA подобны.

40. Точка K — се­ре­ди­на бо­ко­вой сто­ро­ны CD тра­пе­ции ABCD. Докажите, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка KAB равна по­ло­ви­не пло­ща­ди трапеции.

41. Внутри па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD вы­бра­ли про­из­воль­ную точку F. Докажите, что сумма пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков BFC и AFD равна по­ло­ви­не пло­ща­ди параллелограмма.

42. В тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P. Докажите, что пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков APB и CPD равны.

43. На сред­ней линии тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC вы­бра­ли про­из­воль­ную точку K. Докажите, что сумма пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков BKC и AKD равна по­ло­ви­не пло­ща­ди трапеции.

44. Основания BC и AD тра­пе­ции ABCD равны со­от­вет­ствен­но 3 и 12, BD = 6. Докажите, что тре­уголь­ни­ки CBD и BDA подобны.

45. Через точку O пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD про­ве­де­на прямая, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ны BC и AD в точ­ках K и M соответственно. Докажите, что BK = DM.

46. Биссектрисы углов C и D тра­пе­ции ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P, ле­жа­щей на сто­ро­не AB. Докажите, что точка P рав­но­уда­ле­на от пря­мых BC, CD и AD.

47. Сторона CD па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD вдвое боль­ше сто­ро­ны AD. Точка N — се­ре­ди­на сто­ро­ны CD. Докажите, что AN — бис­сек­три­са угла BAD.

48. Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются в точке , лежащей на стороне . Докажите, что - середина